Em cada um dos Problemas 16 a 18, encontre a transformada de Laplace da função dada.
f(t)= t, & 0 <= t<1 2-t, & 1 <= t<2 0, & 2 <= t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função por partes definida em três intervalos. O conteúdo principal aqui é a definição de transformada de Laplace e o uso de integração por partes para calcular integrais do tipo integral t e^-stdt. Vamos dividir o problema em partes: primeiro escrevemos a integral da definição, depois calculamos cada trecho e por fim simplificamos.

Passo 2

Usando a definição de transformada de Laplace, escrevemos
F(s)=Lf(t)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt =integral0^1t,e^-st,dt+integral1^2(2-t)e^-st,dt

Passo 3

Para calcular integral0^1t e^-st,dt, aplicamos integração por partes. Seja u=t e dv=e^-stdt. Então du=dt e v=-tfrac1se^-st. Temos
integral0^1t e^-st,dt=l-tse^-str|0^1+integral0^11se^-st,dt =-e^-ss+1sl(-1se^-str)|0^1 =1s^2-e^-sl(1s+1s^2r)

Passo 4

Agora calculamos integral1^2(2-t)e^-st,dt também por partes. Tome u=2-t e dv=e^-stdt, assim du=-dt e v=-tfrac1se^-st. Segue
integral1^2(2-t)e^-st,dt=l-2-tse^-str|1^2-integral1^2l(-1se^-str)(-1),dt =e^-ss+1s^2e^-2s-1s^2e^-s =e^-sl(1s-1s^2r)+e^-2ss^2

Passo 5

Somando os dois resultados temos
F(s)=l(1s^2-e^-sl(1s+1s^2r)r)+l(e^-sl(1s-1s^2r)+e^-2ss^2r) =1-2e^-s+e^-2ss^2 =(1-e^-s)^2s^2

Resposta

F(s)=dfrac(1-e^-s)^2s^2

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