Em cada um dos Problemas 1a 3, esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se fé contínua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 <= t <= 3.
f(t)= t^2, & 0 <= t <= 1 1, & 1

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da função $ f(t) $ definida por partes no intervalo de $ 0 $ a $ 3 $. Além disso, precisamos verificar se essa função é contínua, seccionalmente contínua ou nenhuma das duas nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar entender como desenhar funções por partes e os conceitos de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função $ f(t) $:
f(t)
Isso significa que a função muda de expressão dependendo do valor de $ t $. Vamos desenhar cada parte separadamente.

Passo 3

Para $ 0 \leq t \leq 1 $, temos $ f(t) = t^{2} $. Essa é uma parábola que começa em $ t = 0 $ com $ f(0) = 0 $ e vai até $ t = 1 $ onde $ f(1) = 1^{2} = 1 $.

Passo 4

Para $ 1 < t \leq 2 $, a função é constante: $ f(t) = 1 $. Isso é uma reta horizontal que vai de $ t = 1 $ a $ t = 2 $, mantendo o valor de $ f(t) = 1 $.

Passo 5

Já para $ 2 < t \leq 3 $, temos $ f(t) = 3 - t $. Essa é uma reta decrescente que começa em $ t = 2 $ com $ f(2) = 1 $ e vai até $ t = 3 $ onde $ f(3) = 0 $.

Passo 6

Agora, vamos juntar essas partes no gráfico:
  1. De $ 0 $ a $ 1 $, desenhe a parábola $ t^{2} $.
  2. De $ 1 $ a $ 2 $, desenhe uma linha horizontal em $ f(t) = 1 $.
  3. De $ 2 $ a $ 3 $, desenhe a reta decrescente $ 3 - t $.

Passo 7

Vamos verificar a continuidade. Uma função é contínua se não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico. Também, uma função seccionalmente contínua significa que é contínua em cada parte definida por intervalos, mas pode ter descontinuidades nos pontos onde as partes se encontram.

Passo 8

Vamos analisar os pontos de transição:
  • Em $ t = 1 $:
    • Limite pela esquerda: $ \lim_{t \to 1^-} f(t) = 1^{2} = 1 $
    • Valor da função: $ f(1) = 1 $
    • Limite pela direita: $ \lim_{t \to 1^+} f(t) = 1 $
    • Como todos são iguais, a função é contínua em $ t = 1 $.
  • Em $ t = 2 $:
    • Limite pela esquerda: $ \lim_{t \to 2^-} f(t) = 1 $
    • Valor da função: $ f(2) = 1 $
    • Limite pela direita: $ \lim_{t \to 2^+} f(t) = 3 - 2 = 1 $
    • Novamente, todos são iguais, então a função é contínua em $ t = 2 $.

Passo 9

Já que a função não apresenta saltos ou buracos em nenhum ponto do intervalo $ 0 \leq t \leq 3 $, ela é contínua nesse intervalo.

Resposta

A função $ f(t) $ é contínua no intervalo $ 0 \leq t \leq 3 $.

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