Em cada um dos Problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede explicitamente:
- Encontrar todos os autovalores de
. - Para cada autovalor, encontrar todos os autovetores correspondentes (ou seja, as direções próprias não nulas).
As informações relevantes que temos são os elementos da matriz
: o primeiro elemento da primeira linha é
, o segundo é
; na segunda linha os elementos são
e
.]
Passo 2
O que significa achar autovalores e autovetores (explicação didática passo a passo).
- Um vetor não nulo
é autovetor de com autovalor se vale
- Para encontrar
procuramos valores que tornam o sistema não trivial. Isso equivale a resolver a equação característica
onde
é a matriz identidade. Para uma matriz
,
- Após achar os autovalores
, para cada resolvemos o sistema linear homogêneo
para achar os vetores
(qualquer múltiplo não nulo de uma solução serve como autovetor).
Vou aplicar exatamente esses passos, explicando cada cálculo.
Passo 3
Calcular o polinômio característico
.
Primeiro escrevo
:
Agora o determinante usando a regra
:
Faço a expansão passo a passo:
e adicionando
(porque
) obtemos
Passo 4
Encontrar as raízes do polinômio característico
.
Resolvo a equação quadrática. Podemos usar fórmula de Bhaskara, ou fatorar se for fácil. Tento fatorar:
procuramos dois números que multiplicam e somam
. Esses números são
e
. Portanto
procuramos dois números que multiplicam
Logo as raízes (autovalores) são
Passo 5
Calcular autovetores para [\lambda_1=4).
Formo
:
Resolvemos
. Escrevo
. O sistema é
A primeira equação dá
), então não traz restrição nova. Portanto os vetores solução são todos os pares
com
. Podemos escolher um gerador simples tomando
, obtendo o autovetor
Qualquer múltiplo escalar de
também é autovetor associado a
.]
Passo 6
Calcular autovetores para [\lambda_2=2).
Formo
:
Resolvemos
com
. O sistema é
As duas equações são idênticas, então basta
com
. Escolhendo
como gerador simples, obtemos o autovetor
Qualquer múltiplo escalar de
também é autovetor associado a
.]
Passo 7
Verificação rápida (bom hábito antes da prova): multiplicar
pelos autovetores para confirmar que
.
- Para
:
- Para
:
As verificações conferem com os autovalores encontrados.]