Em cada um dos Problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada.
\\left(\\begin{array}{rr}5 & -1 \\\\ 3 & 1\end{array}\\\right)\

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}5 & -1 \\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}
e pede explicitamente:
  • Encontrar todos os autovalores de A.
  • Para cada autovalor, encontrar todos os autovetores correspondentes (ou seja, as direções próprias não nulas).
As informações relevantes que temos são os elementos da matriz A: o primeiro elemento da primeira linha é 5, o segundo é -1; na segunda linha os elementos são 3 e 1.]

Passo 2

O que significa achar autovalores e autovetores (explicação didática passo a passo).
  • Um vetor não nulo v é autovetor de A com autovalor \lambda se vale
A v = \lambda v.
  • Para encontrar \lambda procuramos valores que tornam o sistema não trivial. Isso equivale a resolver a equação característica
\det(A-\lambda I)=0,
onde I é a matriz identidade. Para uma matriz 2\times2,
\det\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
  • Após achar os autovalores \lambda, para cada \lambda resolvemos o sistema linear homogêneo
(A-\lambda I)v=0
para achar os vetores v (qualquer múltiplo não nulo de uma solução serve como autovetor).
Vou aplicar exatamente esses passos, explicando cada cálculo.

Passo 3

Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I).
Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}5-\lambda & -1 \\[4pt] 3 & 1-\lambda\end{pmatrix}.
Agora o determinante usando a regra ad-bc:
\det(A-\lambda I)=(5-\lambda)(1-\lambda)-(-1)\cdot 3.
Faço a expansão passo a passo:
(5-\lambda)(1-\lambda)=5-5\lambda-\lambda+ \lambda^2= \lambda^2-6\lambda+5,
e adicionando +3 (porque -(-1)\cdot3=+3) obtemos
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-6\lambda+5+3=\lambda^2-6\lambda+8.]

Passo 4

Encontrar as raízes do polinômio característico \lambda^2-6\lambda+8=0.
Resolvo a equação quadrática. Podemos usar fórmula de Bhaskara, ou fatorar se for fácil. Tento fatorar:
procuramos dois números que multiplicam 8 e somam -6. Esses números são -4 e -2. Portanto
\lambda^2-6\lambda+8=(\lambda-4)(\lambda-2).
Logo as raízes (autovalores) são
\lambda_1=4,\qquad \lambda_2=2.

Passo 5

Calcular autovetores para [\lambda_1=4).
Formo A-4I:
A-4I=\begin{pmatrix}5-4 & -1 \\[4pt] 3 & 1-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 3 & -3\end{pmatrix}.
Resolvemos (A-4I)v=0. Escrevo v=(x,y)^\top. O sistema é
\begin{cases} 1\cdot x - 1\cdot y = 0,\\[4pt] 3\cdot x - 3\cdot y = 0. \end{cases}
A primeira equação dá x-y=0\Rightarrow x=y\]. A segunda é equivalente à primeira (multiplicada por \(3), então não traz restrição nova. Portanto os vetores solução são todos os pares (x,x) com x\neq 0. Podemos escolher um gerador simples tomando x=1, obtendo o autovetor
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Qualquer múltiplo escalar de v_1 também é autovetor associado a \lambda_1=4.]

Passo 6

Calcular autovetores para [\lambda_2=2).
Formo A-2I:
A-2I=\begin{pmatrix}5-2 & -1 \\[4pt] 3 & 1-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.
Resolvemos (A-2I)v=0 com v=(x,y)^\top. O sistema é
\begin{cases} 3x - y = 0,\\[4pt] 3x - y = 0. \end{cases}
As duas equações são idênticas, então basta y=3x\]. Os vetores solução são todos \((x,3x) com x\neq 0. Escolhendo x=1 como gerador simples, obtemos o autovetor
v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 3\end{pmatrix}.
Qualquer múltiplo escalar de v_2 também é autovetor associado a \lambda_2=2.]

Passo 7

Verificação rápida (bom hábito antes da prova): multiplicar A pelos autovetores para confirmar que A v=\lambda v.
  • Para v_1=(1,1)^\top:
A v_1=\begin{pmatrix}5 & -1\\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5-1\\[4pt]3+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]4\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=4v_1.
  • Para v_2=(1,3)^\top:
A v_2=\begin{pmatrix}5 & -1\\[4pt] 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5-3\\[4pt]3+3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]6\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}=2v_2.
As verificações conferem com os autovalores encontrados.]

Resposta

\lambda_1=4; autovetores: todos os múltiplos de \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
\lambda_2=2; autovetores: todos os múltiplos de \begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

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