Exercício 9. Ache as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} com relação à base \mathcal{B} (do exercício 1) e mostre que não são paralelos. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L}, \overrightarrow{H N}).
\overrightarrow{D H}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Ache as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} com respeito à base \mathcal{B} (a base do exercício 1).
  • Mostre que \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não são paralelos.
  • Determine as coordenadas de \overrightarrow{D H} com respeito à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N}).
Informações fornecidas no enunciado que eu tenho aqui: o enunciado acima.
Informações que estão faltando e que são necessárias para calcular numericamente as coordenadas:
  • As componentes (coordenadas) dos pontos \,H,L,N,D em alguma base (por exemplo, na base canônica) OU as coordenadas desses pontos já na base \mathcal{B}.
  • A própria base \mathcal{B} (do exercício 1) — isto é, os vetores que formam \mathcal{B}.
Sem essas informações numéricas não há como calcular as coordenadas concretas pedidas. Vou, portanto, explicar passo a passo exatamente o que se faria quando esses dados estiverem disponíveis, mostrando as fórmulas e um exemplo numérico ilustrativo para você poder aplicar direto na prova.

Passo 2

O que é preciso ter em mãos para resolver (resumindo de forma prática):
  • Se as coordenadas dos pontos H,L,N,D vierem dadas na base \mathcal{B}: então já podemos trabalhar diretamente com essas coordenadas.
  • Se as coordenadas dos pontos vierem na base canônica (ou em outra base): converte-se para coordenadas em \mathcal{B} se o problema exigir respostas em \mathcal{B}, usando mudança de base.
    Portanto o ponto inicial obrigatório é ter as coordenadas de H,L,N,D em alguma base conhecida e/ou conhecer os vetores que formam \mathcal{B}.

Passo 3

Fórmula básica para obter os vetores \overrightarrow{HL} e \overrightarrow{HN}:
  • O vetor entre dois pontos é a diferença de suas coordenadas. Se [\overrightarrow{H}]_{\mathcal{B}} e [\overrightarrow{L}]_{\mathcal{B}} são as coordenadas de H e L na base \mathcal{B}, então
[\overrightarrow{HL}]_{\mathcal{B}} = [\overrightarrow{L}]_{\mathcal{B}} - [\overrightarrow{H}]_{\mathcal{B}}.
  • Analogamente,
[\overrightarrow{HN}]_{\mathcal{B}} = [\overrightarrow{N}]_{\mathcal{B}} - [\overrightarrow{H}]_{\mathcal{B}}.
(Explicando: subtrair coordenada a coordenada — se forem pares \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, subtrai-se componente x com x e y com y.)

Passo 4

Como testar se dois vetores em \mathbb{R}^2 são paralelos (fórmula prática e intuitiva):
  • Dados u=\begin{pmatrix}u_1\u_2\end{pmatrix} e v=\begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} (coordenadas com respeito à mesma base), eles são paralelos se, e somente se, existe escala t tal que u=t v.
  • Um teste numérico simples: calcular o determinante (o “produto vetorial 2D”)
\det(u,v)=u_1 v_2 - u_2 v_1.
Se \det(u,v)=0 então são paralelos; se \det(u,v)\neq 0 então não são paralelos.
(Interpretação geométrica: o determinante mede a área do paralelogramo formado pelos vetores; área nula significa colinearidade.)

Passo 5

Como achar as coordenadas de \overrightarrow{DH} na base \mathcal{C}=(\overrightarrow{HL},\overrightarrow{HN}):
  • Primeiro calcule [\overrightarrow{HL}]_{\mathcal{B}} e [\overrightarrow{HN}]_{\mathcal{B}} como no Passo 3.
  • Depois calcule [\overrightarrow{DH}]_{\mathcal{B}} = [\overrightarrow{H}]_{\mathcal{B}} - [\overrightarrow{D}]_{\mathcal{B}}.
  • Procura coeficientes \alpha,\beta tais que
[\overrightarrow{DH}]_{\mathcal{B}} = \alpha\,[\overrightarrow{HL}]_{\mathcal{B}} + \beta\,[\overrightarrow{HN}]_{\mathcal{B}}.
Isto é um sistema linear 2\times2. Escrevendo as colunas:
\begin{pmatrix} [\overrightarrow{HL}]_{\mathcal{B}} & [\overrightarrow{HN}]_{\mathcal{B}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix} = [\overrightarrow{DH}]_{\mathcal{B}}.
  • Se \det\big([\overrightarrow{HL}]_{\mathcal{B}},[\overrightarrow{HN}]_{\mathcal{B}}\big)\neq 0 (ou seja, \overrightarrow{HL} e \overrightarrow{HN} não são paralelos), a solução é única e pode ser obtida por inversa da matriz 2\times2 ou por Regra de Cramer. Por Cramer:
\alpha=\frac{\det\big([\overrightarrow{DH}]_{\mathcal{B}},[\overrightarrow{HN}]_{\mathcal{B}}\big)}{\det\big([\overrightarrow{HL}]_{\mathcal{B}},[\overrightarrow{HN}]_{\mathcal{B}}\big)}, \qquad \beta=\frac{\det\big([\overrightarrow{HL}]_{\mathcal{B}},[\overrightarrow{DH}]_{\mathcal{B}}\big)}{\det\big([\overrightarrow{HL}]_{\mathcal{B}},[\overrightarrow{HN}]_{\mathcal{B}}\big)}.
Esses \alpha,\beta são exatamente as coordenadas de \overrightarrow{DH} na base \mathcal{C}:
[\overrightarrow{DH}]_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix}.]

Passo 6

Exemplo completo (hipotético) — demonstração passo a passo para você ver números e poder reproduzir na prova.
Suponha (apenas como exemplo) que a base \mathcal{B}\) seja a canônica e que as coordenadas dos pontos sejam: \[[\overrightarrow{H}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad [\overrightarrow{L}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\end{pmatrix},\quad [\overrightarrow{N}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\end{pmatrix},\quad [\overrightarrow{D}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  1. Calcule [\overrightarrow{HL}]_{\mathcal{B}} e [\overrightarrow{HN}]_{\mathcal{B}}:
[\overrightarrow{HL}]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}4\\[4pt]2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}, \qquad [\overrightarrow{HN}]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]5\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix}.
  1. Teste de paralelismo (determinante):
\det\big([\overrightarrow{HL}]_{\mathcal{B}},[\overrightarrow{HN}]_{\mathcal{B}}\big) = \det\!\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix} =3\cdot 4 - 1\cdot 1=12-1=11\neq 0,
logo \overrightarrow{HL} e \overrightarrow{HN} NÃO são paralelos (determinante diferente de zero). Bom sinal: a base \mathcal{C} é válida (vetores linearmente independentes).
3) Calcule [\overrightarrow{DH}]_{\mathcal{B}}:
[\overrightarrow{DH}]_{\mathcal{B}} = [\overrightarrow{H}]_{\mathcal{B}} - [\overrightarrow{D}]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\[4pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  1. Resolva \alpha,\beta tais que \alpha\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
    Sistema:
\begin{cases} 3\alpha + 1\beta = -2,\\[4pt] 1\alpha + 4\beta = 1. \end{cases}
Resolve-se (por substituição ou Cramer). Fazendo substituição: \alpha=1-4\beta\]. Substituindo: \[3(1-4\beta)+\beta=-2 \Rightarrow 3-12\beta+\beta=-2 \Rightarrow -11\beta=-5 \Rightarrow \beta=\dfrac{5}{11}.\] E então \(\alpha=1-4\cdot\dfrac{5}{11}=1-\dfrac{20}{11}=-\dfrac{9}{11}.
5) Portanto, no exemplo,
[\overrightarrow{DH}]_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\dfrac{9}{11}\\[6pt]\dfrac{5}{11}\end{pmatrix}.
Isto ilustra todo o caminho: calcular diferenças para obter HL e HN, verificar determinante para garantir não-paralelismo, montar o sistema e resolvê-lo para obter coordenadas em \mathcal{C}.]

Passo 7

Resumo prático para aplicar na prova (checklist):
  • Pegue as coordenadas de H,L,N,D (na base pedida ou transforme-as).
  • Calcule [\overrightarrow{HL}] = [L]-[H] e [\overrightarrow{HN}] = [N]-[H].
  • Verifique se \det([\overrightarrow{HL}],[\overrightarrow{HN}])\neq 0. Se for diferente de zero, conclui que não são paralelos.
  • Calcule [\overrightarrow{DH}] = [H]-[D].
  • Resolva o sistema para \alpha,\beta ou use Cramer para obter [\overrightarrow{DH}]_{\mathcal{C}}=(\alpha,\beta).
Força aí — com esses passos você aplica direto quando tiver as coordenadas. Se quiser, me envie as coordenadas de \mathcal{B} e dos pontos H,L,N,D que eu resolvo numericamente agora para você.

Resposta

Não é possível fornecer as coordenadas numéricas pedidas porque não foram fornecidas as coordenadas dos pontos H,L,N,D nem a descrição da base \mathcal{B} (do exercício 1).

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