Exercício 9. Ache as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} com relação à base \mathcal{B} (do exercício 1) e mostre que não são paralelos. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L}, \overrightarrow{H N}). \overrightarrow{D H}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Ache as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} com respeito à base \mathcal{B} (a base do exercício 1).
Mostre que \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não são paralelos.
Determine as coordenadas de \overrightarrow{D H} com respeito à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N}).
Informações fornecidas no enunciado que eu tenho aqui: o enunciado acima.
Informações que estão faltando e que são necessárias para calcular numericamente as coordenadas:
As componentes (coordenadas) dos pontos \,H,L,N,D em alguma base (por exemplo, na base canônica) OU as coordenadas desses pontos já na base \mathcal{B}.
A própria base \mathcal{B} (do exercício 1) — isto é, os vetores que formam \mathcal{B}.
Sem essas informações numéricas não há como calcular as coordenadas concretas pedidas. Vou, portanto, explicar passo a passo exatamente o que se faria quando esses dados estiverem disponíveis, mostrando as fórmulas e um exemplo numérico ilustrativo para você poder aplicar direto na prova.
Passo 2
O que é preciso ter em mãos para resolver (resumindo de forma prática):
Se as coordenadas dos pontos H,L,N,D vierem dadas na base \mathcal{B}: então já podemos trabalhar diretamente com essas coordenadas.
Se as coordenadas dos pontos vierem na base canônica (ou em outra base): converte-se para coordenadas em \mathcal{B} se o problema exigir respostas em \mathcal{B}, usando mudança de base.
Portanto o ponto inicial obrigatório é ter as coordenadas de H,L,N,D em alguma base conhecida e/ou conhecer os vetores que formam \mathcal{B}.
Passo 3
Fórmula básica para obter os vetores \overrightarrow{HL} e \overrightarrow{HN}:
O vetor entre dois pontos é a diferença de suas coordenadas. Se [\overrightarrow{H}]_{\mathcal{B}} e [\overrightarrow{L}]_{\mathcal{B}} são as coordenadas de H e L na base \mathcal{B}, então
(Explicando: subtrair coordenada a coordenada — se forem pares \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, subtrai-se componente x com x e y com y.)
Passo 4
Como testar se dois vetores em \mathbb{R}^2 são paralelos (fórmula prática e intuitiva):
Dados u=\begin{pmatrix}u_1\u_2\end{pmatrix} e v=\begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} (coordenadas com respeito à mesma base), eles são paralelos se, e somente se, existe escala t tal que u=t v.
Um teste numérico simples: calcular o determinante (o “produto vetorial 2D”)
\det(u,v)=u_1 v_2 - u_2 v_1.
Se \det(u,v)=0 então são paralelos; se \det(u,v)\neq 0 então não são paralelos.
(Interpretação geométrica: o determinante mede a área do paralelogramo formado pelos vetores; área nula significa colinearidade.)
Passo 5
Como achar as coordenadas de \overrightarrow{DH} na base \mathcal{C}=(\overrightarrow{HL},\overrightarrow{HN}):
Primeiro calcule [\overrightarrow{HL}]_{\mathcal{B}} e [\overrightarrow{HN}]_{\mathcal{B}} como no Passo 3.
Depois calcule [\overrightarrow{DH}]_{\mathcal{B}} = [\overrightarrow{H}]_{\mathcal{B}} - [\overrightarrow{D}]_{\mathcal{B}}.
Se \det\big([\overrightarrow{HL}]_{\mathcal{B}},[\overrightarrow{HN}]_{\mathcal{B}}\big)\neq 0 (ou seja, \overrightarrow{HL} e \overrightarrow{HN} não são paralelos), a solução é única e pode ser obtida por inversa da matriz 2\times2 ou por Regra de Cramer. Por Cramer:
Exemplo completo (hipotético) — demonstração passo a passo para você ver números e poder reproduzir na prova.
Suponha (apenas como exemplo) que a base \mathcal{B}\) seja a canônica e que as coordenadas dos pontos sejam:
\[[\overrightarrow{H}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad [\overrightarrow{L}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\end{pmatrix},\quad [\overrightarrow{N}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]5\end{pmatrix},\quad [\overrightarrow{D}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Calcule [\overrightarrow{HL}]_{\mathcal{B}} e [\overrightarrow{HN}]_{\mathcal{B}}:
logo \overrightarrow{HL} e \overrightarrow{HN} NÃO são paralelos (determinante diferente de zero). Bom sinal: a base \mathcal{C} é válida (vetores linearmente independentes).
3) Calcule [\overrightarrow{DH}]_{\mathcal{B}}:
Resolva \alpha,\beta tais que \alpha\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Sistema:
Resolve-se (por substituição ou Cramer). Fazendo substituição: \alpha=1-4\beta\]. Substituindo:
\[3(1-4\beta)+\beta=-2 \Rightarrow 3-12\beta+\beta=-2 \Rightarrow -11\beta=-5 \Rightarrow \beta=\dfrac{5}{11}.\]
E então \(\alpha=1-4\cdot\dfrac{5}{11}=1-\dfrac{20}{11}=-\dfrac{9}{11}.
5) Portanto, no exemplo,
Isto ilustra todo o caminho: calcular diferenças para obter HL e HN, verificar determinante para garantir não-paralelismo, montar o sistema e resolvê-lo para obter coordenadas em \mathcal{C}.]
Passo 7
Resumo prático para aplicar na prova (checklist):
Pegue as coordenadas de H,L,N,D (na base pedida ou transforme-as).
Calcule [\overrightarrow{HL}] = [L]-[H] e [\overrightarrow{HN}] = [N]-[H].
Verifique se \det([\overrightarrow{HL}],[\overrightarrow{HN}])\neq 0. Se for diferente de zero, conclui que não são paralelos.
Calcule [\overrightarrow{DH}] = [H]-[D].
Resolva o sistema para \alpha,\beta ou use Cramer para obter [\overrightarrow{DH}]_{\mathcal{C}}=(\alpha,\beta).
Força aí — com esses passos você aplica direto quando tiver as coordenadas. Se quiser, me envie as coordenadas de \mathcal{B} e dos pontos H,L,N,D que eu resolvo numericamente agora para você.
Resposta
Não é possível fornecer as coordenadas numéricas pedidas porque não foram fornecidas as coordenadas dos pontos H,L,N,D nem a descrição da base \mathcal{B} (do exercício 1).