Exercício 9. Ache as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} com relação à base \mathcal{B} (do exercício 1) e mostre que não são paralelos. Determine as coordenadas dos vetores abaixo com relação à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L}, \overrightarrow{H N}).
\overrightarrow{A C}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Achar as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} com respeito à base \mathcal{B} (a base do exercício 1).
  • Mostrar que \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} não são paralelos.
  • Determinar as coordenadas de \overrightarrow{A C} com respeito à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N}).
Informações relevantes que deveriam vir do enunciado (mas que não foram fornecidas aqui):
  • As coordenadas dos pontos H,L,N,A,C na base \mathcal{B} (ou, equivalentemente, as coordenadas dos vetores posição desses pontos na base \mathcal{B}).
  • A definição explícita da base \mathcal{B} (se \mathcal{B} for uma base canônica ou outra base qualquer).
Como essas coordenadas/valores não foram enviadas, não há dados numéricos suficientes para computar valores numéricos específicos. Abaixo eu mostro passo a passo o método completo, algébrico e didático, que você deve aplicar assim que tiver as coordenadas. Se preferir, você pode colar aqui as coordenadas e eu calculo direto.

Passo 2

Como calcular as coordenadas de \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} em \mathcal{B} (fórmula básica e explicação):
  • Suponha que as coordenadas dos pontos (ou vetores posição) na base \mathcal{B} sejam [H]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}h_1\\[4pt]h_2\end{pmatrix},\quad [L]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}\ell_1\\[4pt]\ell_2\end{pmatrix},\quad [N]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}n_1\\[4pt]n_2\end{pmatrix}.Aqui \,h_1,h_2,\ell_1,\ell_2,n_1,n_2 são números reais (as componentes nas direções da base \mathcal{B}).
  • A regra fundamental: o vetor que vai de H a L é a diferença dos vetores posição: \overrightarrow{H L}=\overrightarrow{OH L}-\overrightarrow{OH} \quad\Rightarrow\quad [\overrightarrow{H L}]_{\mathcal{B}}=[L]_{\mathcal{B}}-[H]_{\mathcal{B}}.Em componentes: [\overrightarrow{H L}]_{\mathcal{B}}= \begin{pmatrix}\ell_1-h_1\\[4pt]\ell_2-h_2\end{pmatrix}.
  • Analogamente, [\overrightarrow{H N}]_{\mathcal{B}}=[N]_{\mathcal{B}}-[H]_{\mathcal{B}}= \begin{pmatrix}n_1-h_1\\[4pt]n_2-h_2\end{pmatrix}.
  • Por que a subtração funciona? Porque coordenadas de vetores posição são relativas a uma origem comum O; o vetor deslocamento H\to L é simplesmente a diferença das coordenadas posição.]

Passo 3

Como verificar se \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} são paralelos (critério prático):
  • Escreva [\overrightarrow{H L}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}u_1\\[4pt]u_2\end{pmatrix},\qquad [\overrightarrow{H N}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix},onde u_1=\ell_1-h_1,\;u_2=\ell_2-h_2,\;v_1=n_1-h_1,\;v_2=n_2-h_2.
  • Dois vetores em \mathbb{R}^2 são paralelos se e somente se um é múltiplo escalar do outro, ou equivalentemente se o determinante formado por eles for zero. O determinante é \Delta = \det\begin{pmatrix}u_1 & v_1\\[4pt] u_2 & v_2\end{pmatrix}=u_1 v_2 - u_2 v_1.
  • Portanto:
    • Se \Delta=0, então \overrightarrow{H L} e \overrightarrow{H N} são paralelos.
    • Se \Delta\neq 0, então eles NÃO são paralelos (são linearmente independentes e formam uma base do plano).
  • Intuição geométrica: \Delta é a área orientada do paralelogramo gerado pelos dois vetores; área zero significa colinearidade.]

Passo 4

Como determinar as coordenadas de \overrightarrow{A C} em relação à base \mathcal{C}=(\overrightarrow{H L},\overrightarrow{H N}) — método passo a passo:
  • Primeiro, suponha que já tenhamos (como no Passo 2) as coordenadas em \mathcal{B}: [\overrightarrow{A}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}a_1\\[4pt]a_2\end{pmatrix},\qquad [\overrightarrow{C}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\end{pmatrix}.Então [\overrightarrow{A C}]_{\mathcal{B}}=[C]_{\mathcal{B}}-[A]_{\mathcal{B}}= \begin{pmatrix}c_1-a_1\\[4pt]c_2-a_2\end{pmatrix}.
  • Queremos [\,\overrightarrow{A C}\,]_{\mathcal{C}}, ou seja os escalares \alpha,\beta tais que \overrightarrow{A C}=\alpha\,\overrightarrow{H L}+\beta\,\overrightarrow{H N}.Em coordenadas na base \mathcal{B} isto vira um sistema 2×2: \begin{pmatrix}c_1-a_1\\[4pt]c_2-a_2\end{pmatrix} =\alpha\begin{pmatrix}u_1\\[4pt]u_2\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix},onde u_i,v_i são como definidos no Passo 3.
  • Em forma matricial: \begin{pmatrix}u_1 & v_1\\[4pt]u_2 & v_2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_1-a_1\\[4pt]c_2-a_2\end{pmatrix}.
  • Se \Delta=\det\begin{pmatrix}u_1 & v_1\\[4pt]u_2 & v_2\end{pmatrix}\neq 0 (caso não paralelo), o sistema tem solução única e pode ser resolvido por Cramer: \alpha=\frac{\det\begin{pmatrix}c_1-a_1 & v_1\\[4pt] c_2-a_2 & v_2\end{pmatrix}}{\Delta} =\frac{(c_1-a_1)v_2-(c_2-a_2)v_1}{\Delta},
\beta=\frac{\det\begin{pmatrix}u_1 & c_1-a_1\\[4pt] u_2 & c_2-a_2\end{pmatrix}}{\Delta} =\frac{u_1(c_2-a_2)-u_2(c_1-a_1)}{\Delta}.
  • Assim, as coordenadas de \overrightarrow{A C} na base \mathcal{C} são [\overrightarrow{A C}]_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix},com \alpha,\beta dados nas fórmulas acima.]

Passo 5

Resumo prático que você deve executar na prova (passo a passo curto e seguro):
  1. Anote as coordenadas de H,L,N,A,C na base \mathcal{B}. Escreva-as como vetores coluna.
  2. Calcule [\overrightarrow{H L}]_{\mathcal{B}}=[L]_{\mathcal{B}}-[H]_{\mathcal{B}},\qquad [\overrightarrow{H N}]_{\mathcal{B}}=[N]_{\mathcal{B}}-[H]_{\mathcal{B}}.
  3. Calcule \Delta=u_1v_2-u_2v_1. Se \Delta=0 pare: os vetores são paralelos. Se \Delta\neq0, prossiga.
  4. Calcule [\overrightarrow{A C}]_{\mathcal{B}}=[C]_{\mathcal{B}}-[A]_{\mathcal{B}}.
  5. Resolva por Cramer as incógnitas \alpha,\beta usando as fórmulas do Passo 4. Essas \alpha,\beta são as coordenadas de \overrightarrow{A C} na base \mathcal{C}.
    Dica de prova: escreva explicitamente cada subtração e o determinante; não tente cortar etapas para evitar erros.

Passo 6

Se quiser ver um exemplo concreto (não é o seu exercício, é só para treinar):
  • Suponha que em \mathcal{B} tenhamos [H]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix},\; [L]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix},\; [N]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix},\; [A]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\; [C]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]2\end{pmatrix}.
  • Então [\overrightarrow{H L}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad [\overrightarrow{H N}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}. \Delta=2\cdot3-1\cdot1=6-1=5\neq0 (logo não são paralelos).
  • [\overrightarrow{A C}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Por Cramer, \alpha=\frac{3\cdot3-1\cdot1}{5}=\frac{9-1}{5}=\frac{8}{5},\qquad \beta=\frac{2\cdot1-1\cdot3}{5}=\frac{2-3}{5}=-\frac{1}{5}.Então [\overrightarrow{A C}]_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}8/5\\[4pt]-1/5\end{pmatrix}. - Esse exemplo mostra exatamente as operações que você fará com os números do seu exercício.\]

Resposta

Não é possível calcular numericamente [\overrightarrow{H L}]_{\mathcal{B}},\;[\overrightarrow{H N}]_{\mathcal{B}} nem [\overrightarrow{A C}]_{\mathcal{C}} porque o enunciado não forneceu as coordenadas dos pontos H,L,N,A,C na base \mathcal{B} (nem a própria definição explícita da base \mathcal{B}).

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