Em cada um dos Problemas 9 a 16 encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita.
y^{\prime}=\left(3 x{2}-e{x}\right) /(2 y-5), y(0)=1

Passo 1

O problema é uma equação diferencial de variáveis separáveis
y'=\frac{3x^2 - e^x}{2y-5},\qquad y(0)=1.
Para resolver, vamos separar as variáveis x e y e integrar em ambos os lados.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
(2y - 5)\,dy = (3x^2 - e^x)\,dx
e integramos:
\int (2y - 5)\,dy = \int (3x^2 - e^x)\,dx.
No lado esquerdo,
\int (2y - 5)\,dy = y^2 - 5y + C_1,
e no lado direito,
\int (3x^2 - e^x)\,dx = x^3 - e^x + C_2.
Podemos juntar as constantes em uma só C, obtendo a forma implícita
y^2 - 5y = x^3 - e^x + C.

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y(0)=1:
1^2 - 5\cdot1 = 0^3 - e^0 + C \quad\Longrightarrow\quad 1 - 5 = 0 - 1 + C \quad\Longrightarrow\quad -4 = -1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -3.
Logo a solução implícita é
y^2 - 5y - x^3 + e^x + 3 = 0.

Passo 4

Para obter y de forma explícita, resolvemos a equação quadrática em y:
y^2 - 5y +\bigl(e^x - x^3 + 3\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{5 \pm \sqrt{25 -4\bigl(e^x - x^3 +3\bigr)}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{13 +4x^3 -4e^x}}{2}.
Para escolher o sinal, usamos y(0)=1. Em x=0 o discriminante é \sqrt{13-4}=3, de modo que
y(0) = \frac{5 \pm 3}{2}
4 ou 1. Como queremos y(0)=1, adotamos o sinal “ -”.

Resposta

y(x) = \frac{5 - \sqrt{13 + 4x^3 - 4e^x}}{2}.

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