Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados em
:
e
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
e pede para verificar se ele é fechado em
. Lembra que, em topologia métrica, um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação (ou, equivalentemente, se seu complementar é aberto).
Passo 2
Vamos identificar os pontos de acumulação de
. Qualquer ponto interno ao segmento vertical
está em
, mas o verdadeiro teste é nos extremos. Note que podemos aproximar as ordens:
- De baixo, os pontos
com tendem a , e (pois ). - De cima, os pontos
com tendem a . Logo, é ponto de acumulação de .
Passo 3
Verificamos se
pertence a
. Pela definição de
temos
, ou seja,
. Logo falta em
um de seus pontos de acumulação.
Resposta
O conjunto
não é fechado em
.