Verifique quais dos conjuntos a seguir são fechados em mathbb{R}^{2}:
\{(x, y) \mid x=1 e 1 \leq y<3\}

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
S = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x=1 \text{ e } 1 \le y < 3\}
e pede para verificar se ele é fechado em \mathbb{R}^2. Lembra que, em topologia métrica, um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação (ou, equivalentemente, se seu complementar é aberto).

Passo 2

Vamos identificar os pontos de acumulação de S. Qualquer ponto interno ao segmento vertical \{(1,y)\mid1<y<3\} está em S, mas o verdadeiro teste é nos extremos. Note que podemos aproximar as ordens:
  • De baixo, os pontos (1,y_n) com y_n\searrow1 tendem a (1,1), e (1,1)\in S (pois 1\le1<3).
  • De cima, os pontos (1,y_n) com y_n\nearrow3 tendem a (1,3). Logo, (1,3) é ponto de acumulação de S.

Passo 3

Verificamos se (1,3) pertence a S. Pela definição de S temos y<3, ou seja, (1,3)\notin S. Logo falta em S um de seus pontos de acumulação.

Resposta

O conjunto S não é fechado em \mathbb{R}^2.

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