Em cada um dos Problemas 9 e 10, resolva o problema de valor inicial dado.
9. (2 x-y)+(2 y-x) y^{\prime}=0, y(1)=3

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
(2x - y) + (2y - x)\,y' = 0,\quad y(1)=3.
Trata-se de uma EDO de primeira ordem na forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y)=2x - y, \quad N(x,y)=2y - x,
e vamos usar o critério de exatidão.

Passo 2

Verificamos se é exata calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = -1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = -1.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x} = M(x,y) = 2x - y.
Integrando em relação a x:
\Phi(x,y) = \int (2x - y)\,dx = x^2 - x\,y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impondo
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = -x + h'(y) \stackrel{!}{=} N(x,y) = 2y - x,
vemos que
h'(y) = 2y \quad\Longrightarrow\quad h(y) = y^2.
Logo a solução geral implícita é
\Phi(x,y) = x^2 - x\,y + y^2 = C.

Passo 5

Aplicando a condição inicial (x,y)=(1,3):
1^2 - 1\cdot3 + 3^2 = 1 - 3 + 9 = 7,
logo C=7 e a solução particular satisfaz
x^2 - x\,y + y^2 = 7.

Passo 6

Para obter y explicita, escrevemos
y^2 - x\,y + (x^2 - 7) = 0.
O discriminante é
\Delta = x^2 - 4(x^2 - 7) = 28 - 3x^2,
logo
y = \frac{x \pm \sqrt{28 - 3x^2}}{2}.
Como em x=1 devemos ter y(1)=3, escolhemos o sinal “ +”.

Resposta

y(x) = \frac{x + \sqrt{28 - 3x^2}}{2}.

Exercícios relacionados