Em cada um dos Problemas 9 e 10, resolva o problema de valor inicial dado.
9. (2 x-y)+(2 y-x) y^{\prime}=0, y(1)=3
9. (2 x-y)+(2 y-x) y^{\prime}=0, y(1)=3
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
Trata-se de uma EDO de primeira ordem na forma diferencial
com
e vamos usar o critério de exatidão.
Passo 2
Verificamos se é exata calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Buscamos uma função potencial
tal que
Integrando em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Impondo
vemos que
Logo a solução geral implícita é
Passo 5
Aplicando a condição inicial
:
logo
e a solução particular satisfaz
Passo 6
Para obter
explicita, escrevemos
O discriminante é
logo
Como em
devemos ter
, escolhemos o sinal “
”.