Exercício 1.6. Determine o comprimento da curva dada:
\vec{r}(t)=\left(\cos ^{3} t, \operatorname{sen}^{3} t, 2\right), 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica \displaystyle \vec{r}(t) = \bigl(\cos^3 t,\;\sin^3 t,\;2\bigr)
no intervalo 0 \le t \le \tfrac{\pi}{2}.
O conteúdo aqui é comprimento de curva em \mathbb{R}^3, que usa a fórmula
L = \int_{a}^{b} \bigl\|\vec{r}'(t)\bigr\| \,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
\vec{r}'(t) = \bigl(-3\cos^2 t\,\sin t,\;3\sin^2 t\,\cos t,\;0\bigr).

Passo 3

Determinamos a norma de \vec{r}'(t):
\bigl\|\vec{r}'(t)\bigr\| = \sqrt{(-3\cos^2 t\,\sin t)^2 + (3\sin^2 t\,\cos t)^2 + 0^2} = \sqrt{9\cos^4 t\,\sin^2 t + 9\sin^4 t\,\cos^2 t}.
Fatorando 9\cos^2 t\,\sin^2 t e usando \cos^2 t+\sin^2 t=1, obtemos
\bigl\|\vec{r}'(t)\bigr\| =3\,\cos t\,\sin t,
pois no intervalo dado \cos t e \sin t são não negativas.

Passo 4

O comprimento é
L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 3\,\cos t\,\sin t \,dt =3 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos t\,\sin t \,dt.
Fazendo u=\sin t (ou usando \int \cos t\,\sin t\,dt = \tfrac12\sin^2 t), temos
L =3 \cdot \frac12\bigl[\sin^2 t\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{3}{2}\bigl(1 - 0\bigr).

Resposta

O comprimento da curva é \displaystyle \frac{3}{2}.

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