Em cada um dos Problemas 18 a 21, encontre um fator integrante e resolva a equação dada.
y^prime=e^2 x+y-1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = e^2x + y - 1
que é linear no formato y' + p(x),y = q(x). Aqui teremos que encontrar um fator integrante e depois resolver por quadratura.

Passo 2

Reescrevemos em forma padrão
y' - y = e^2x - 1,
onde p(x) = -1 e q(x)=e^2x-1.

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral -1,dx = e^-x

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x) obtemos
e^-xy' - e^-xy = e^-x(e^2x-1)
ou seja, o lado esquerdo é a derivada do produto:
ddxl(e^-xyr) = e^x - e^-x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^-xy = integrall(e^x - e^-xr),dx = e^x + e^-x + C,
onde C é a constante de integração. Por fim, isolamos y:
y = e^xl(e^x + e^-x + Cr) = e^2x + 1 + C,e^x

Resposta

y(x) = C,e^x + e^2x + 1

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