Considere a função f: R longrightarrow R, definida por f(x)=-3 x+2, para todo x in R.
(a) Mostre que f é injetiva e é sobrejetiva.
(b) Mostre que para quaisquer x1, x2 in R, com x1<x2, a taxa de variação de f no intervalo [x1, x2] é sempre a mesma. Qual a relação entre a taxa de variação de f e seu decrescimento?
(c) Qual a relação entre a taxa de variação de f no intervalo (genérico) [x1, x2] e a inversibilidade de f no mesmo intervalo?
(d) Determine a função f^-1 (inversa de f ) e mostre que são verificadas as relações
f(f^-1(x))=x e f^-1(f(x))=x, para todo x in R

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon RtoR, f(x)=-3x+2
Vamos mostrar que f é injetiva e sobrejetiva, calcular a taxa de variação média em qualquer intervalo l[x1,x2r], relacioná-la ao caráter decrescente e à invertibilidade, e por fim determinar f^-1 e verificar as composições.

Passo 2

Para injetividade, suponha que
f(x1)=f(x2)
Então
-3x1+2=-3x2+2 ;Longrightarrow; -3x1=-3x2 ;Longrightarrow; x1=x2
Logo, f é injetiva.
Para surjetividade, dado um valor arbitrário yinR, resolvemos
y=-3x+2 ;Longrightarrow; x=2-y3inR
Assim, para todo y existe x com f(x)=y, e f é sobrejetiva.

Passo 3

A taxa de variação média de f no intervalo l[x1,x2r] é
f(x2)-f(x1)x2-x1 =(-3x2+2)-(-3x1+2)x2-x1 =-3(x2-x1)x2-x1 =-3
Portanto a taxa de variação é constante e igual a -3 para quaisquer x1<x2.

Passo 4

Como a taxa de variação (inclinação) é -3<0, a função f é estritamente decrescente em R.
Em geral, quando a inclinação de uma reta é negativa, a reta desce e a função é decrescente.

Passo 5

Em qualquer intervalo l[x1,x2r], a taxa de variação sendo diferente de zero ( -3) garante que f é estritamente monotônica ali. Monotonicidade estrita implica injetividade local e, portanto, invertibilidade de f nesse intervalo.

Passo 6

Para achar a inversa, escrevemos y=f(x)=-3x+2 e isolamos x:
y=-3x+2 ;Longrightarrow; x=2-y3
Logo
f^-1(x)=2-x3
Verificação das composições:
fl(f^-1(x)r) =-3l(2-x3r)+2 =-(2-x)+2 =x,
f^-1l(f(x)r) =2-(-3x+2)3 =2+3x-23 =x

Resposta

(a) f é injetiva e sobrejetiva.
(b) A taxa de variação média em qualquer l[x1,x2r] é constante e igual a -3; como é negativa, f é estritamente decrescente.
(c) Taxa de variação neq0 implica monotonicidade estrita em qualquer intervalo, e portanto invertibilidade local (e global, no caso).
(d)
f^-1(x)=2-x3,
com
,fl(f^-1(x)r)=x, e ,f^-1l(f(x)r)=x, para todo xinR.

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