Considere a função
, definida por
, para todo
.
(a) Mostre que
é injetiva e é sobrejetiva.
(b) Mostre que para quaisquer
, a taxa de variação de
no intervalo
é sempre a mesma. Qual a relação entre a taxa de variação de
e seu decrescimento?
(c) Qual a relação entre a taxa de variação de
no intervalo (genérico)
e a inversibilidade de
no mesmo intervalo?
(d) Determine a função
(inversa de
) e mostre que são verificadas as relações
(a) Mostre que
(b) Mostre que para quaisquer
(c) Qual a relação entre a taxa de variação de
(d) Determine a função
Passo 1
O enunciado define a função
Vamos mostrar que
é injetiva e sobrejetiva, calcular a taxa de variação média em qualquer intervalo
, relacioná-la ao caráter decrescente e à invertibilidade, e por fim determinar
e verificar as composições.
Passo 2
Para injetividade, suponha que
Então
Logo,
é injetiva.
Para surjetividade, dado um valor arbitrário , resolvemos
Para surjetividade, dado um valor arbitrário
Assim, para todo
existe
com
, e
é sobrejetiva.
Passo 3
A taxa de variação média de
no intervalo
é
Portanto a taxa de variação é constante e igual a
para quaisquer
.
Passo 4
Como a taxa de variação (inclinação) é
, a função
é estritamente decrescente em
.
Em geral, quando a inclinação de uma reta é negativa, a reta desce e a função é decrescente.
Em geral, quando a inclinação de uma reta é negativa, a reta desce e a função é decrescente.
Passo 5
Em qualquer intervalo
, a taxa de variação sendo diferente de zero (
) garante que
é estritamente monotônica ali. Monotonicidade estrita implica injetividade local e, portanto, invertibilidade de
nesse intervalo.
Passo 6
Para achar a inversa, escrevemos
e isolamos
:
Logo
Verificação das composições:
Resposta
(a)
é injetiva e sobrejetiva.
(b) A taxa de variação média em qualquer é constante e igual a
; como é negativa,
é estritamente decrescente.
(c) Taxa de variação implica monotonicidade estrita em qualquer intervalo, e portanto invertibilidade local (e global, no caso).
(d)
(b) A taxa de variação média em qualquer
(c) Taxa de variação
(d)
com
, e
, para todo
.