Seja a função
, dada por
, para todo
.
(a) Mostre que
não é injetiva e nem sobrejetiva.
(b) Mostre que a taxa de variação de
é sempre positiva no intervalo
, onde
são números quaisquer. (Lembre-se que
!)
(c) Mostre que a taxa de variação de
é sempre negativa no intervalo
, onde
são números quaisquer.
(d) Mostre que fazendo-se as restrições de domínio e contra-domínio
, tem-se que
é inversível, e determine
.
(e) Mostre que fazendo-se as restrições de domínio e contra-domínio
, tem-se que
é inversível, e determine
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que a taxa de variação de
(c) Mostre que a taxa de variação de
(d) Mostre que fazendo-se as restrições de domínio e contra-domínio
(e) Mostre que fazendo-se as restrições de domínio e contra-domínio
Passo 1
O enunciado define a função
dada por
. Vamos tratar de:
- Injetividade e sobrejetividade de
. - Cálculo da taxa de variação média
em dois casos de sinal de . - Inversibilidade após restringir domínio e contradomínio, resolvendo
para obter .
Passo 2
Definição:
é injetiva se, sempre que
, então
. Mas aqui
com
. Logo existem
tais que
, então
não é injetiva.
Passo 3
Definição:
é sobrejetiva se, para todo
, existe
com
. Mas
para todo
, logo não há
com
. Assim
, e
não é sobrejetiva.
Passo 4
Se
, então a taxa de variação média é
Como
, temos
. Portanto a taxa de variação média é sempre positiva.
Passo 5
Se
, ainda vale
porém agora
e
implicam
. Assim a taxa de variação média é sempre negativa.
Passo 6
Restrinja
a
Nesse domínio
é estritamente crescente (veja passo 4) e atinge todos os valores em
, logo é bijetiva e, portanto, invertível. Para
em
, da equação
com
obtemos
Passo 7
Restrinja
a
Nesse domínio
é estritamente decrescente (veja passo 5) e atinge todos os valores em
, logo é bijetiva e invertível. Para
em
, da equação
com
obtemos
Resposta
(a)
não é injetiva e não é sobrejetiva.
(b) Para , a taxa de variação é
, sempre positiva.
(c) Para , a taxa de variação é
, sempre negativa.
(d) Com ,
é inversível e
(b) Para
(c) Para
(d) Com
(e) Com
,
é inversível e