Seja a função f: R longrightarrow R, dada por f(x)=x^2, para todo x in R.
(a) Mostre que f não é injetiva e nem sobrejetiva.
(b) Mostre que a taxa de variação de f é sempre positiva no intervalo [x1, x2], onde 0 <= x1<x2 são números quaisquer. (Lembre-se que x2^2-x1^2=(x2-x1)(x2+x1) !)
(c) Mostre que a taxa de variação de f é sempre negativa no intervalo [x1, x2], onde x1<x2 <= 0 são números quaisquer.
(d) Mostre que fazendo-se as restrições de domínio e contra-domínio f:[0,+infty) longrightarrow Im(f), tem-se que f é inversível, e determine f^-1(x).
(e) Mostre que fazendo-se as restrições de domínio e contra-domínio f:(-infty, 0] longrightarrow Im(f), tem-se que f é inversível, e determine f^-1(x).

Passo 1

O enunciado define a função f:RtoR dada por f(x)=x^2. Vamos tratar de:
  • Injetividade e sobrejetividade de f.
  • Cálculo da taxa de variação média f(x2)-f(x1)x2-x1em dois casos de sinal de x1,x2.
  • Inversibilidade após restringir domínio e contradomínio, resolvendo y=x^2 para obter x.

Passo 2

Definição: f é injetiva se, sempre que f(a)=f(b), então a=b. Mas aqui
f(1)=1^2=1e f(-1)=(-1)^2=1,
com 1neq -1. Logo existem aneq b tais que f(a)=f(b), então f não é injetiva.

Passo 3

Definição: f é sobrejetiva se, para todo yinR, existe xinR com f(x)=y. Mas f(x)=x^2>=0 para todo x, logo não há x com f(x)=-1. Assim f(R)=[0,infty)neqR, e f não é sobrejetiva.

Passo 4

Se 0<= x1<x2, então a taxa de variação média é
f(x2)-f(x1)x2-x1 =x2^2-x1^2x2-x1 =(x2-x1)(x2+x1)x2-x1 =x2+x1
Como x2>= x1>=0, temos x2+x1>0. Portanto a taxa de variação média é sempre positiva.

Passo 5

Se x1<x2<=0, ainda vale
f(x2)-f(x1)x2-x1 =x2+x1,
porém agora x2<=0 e x1<0 implicam x2+x1<0. Assim a taxa de variação média é sempre negativa.

Passo 6

Restrinja f a
f:[0,infty)longrightarrow Im(f)=[0,infty)
Nesse domínio f é estritamente crescente (veja passo 4) e atinge todos os valores em [0,infty), logo é bijetiva e, portanto, invertível. Para y>=0 em Im(f), da equação y=x^2 com x>=0 obtemos
f^-1(y)=raizy

Passo 7

Restrinja f a
f:(-infty,0]longrightarrow Im(f)=[0,infty)
Nesse domínio f é estritamente decrescente (veja passo 5) e atinge todos os valores em [0,infty), logo é bijetiva e invertível. Para y>=0 em Im(f), da equação y=x^2 com x<=0 obtemos
f^-1(y)=-raizy

Resposta

(a) f não é injetiva e não é sobrejetiva.
(b) Para 0<= x1<x2, a taxa de variação é x2+x1>0, sempre positiva.
(c) Para x1<x2<=0, a taxa de variação é x2+x1<0, sempre negativa.
(d) Com f:[0,infty)to[0,infty), f é inversível e
f^-1(x)=raizx
(e) Com f:(-infty,0]to[0,infty), f é inversível e
f^-1(x)=-raizx

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