Sejam as funções f, g: R longrightarrow R, dadas por f(x)=2 x-1 e g(x)=-x+2, para todo x in R.
(a) Determine as funções (f circ g)(x) e (g circ f)(x), para todo x in R.
(b) Mostre que existe h: R longrightarrow R tal que (f circ h)(x)=x e (h circ f)(x)=x, para todo x in R.
(c) Mostre que existe j: R longrightarrow R tal que (g circ j)(x)=x e (j circ g)(x)=x, para todo x in R.
(d) As funções h e j obtidas nos itens anteriores são únicas? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá duas funções lineares f,g:RtoR definidas por
f(x)=2x-1, g(x)=-x+2
Pede (a) as composições fcirc g e gcirc f, (b) achar h que seja inversa de f, (c) achar j que seja inversa de g, e (d) discutir a unicidade de h e j. Vamos usar álgebra elementar e a definição de função inversa de bijeções.

Passo 2

Para (fcirc g)(x) usamos
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r) =fl(-x+2r) =2(-x+2)-1 =-2x+4-1 =-2x+3

Passo 3

Para (gcirc f)(x) temos
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r) =gl(2x-1r) =-l(2x-1r)+2 =-2x+1+2 =-2x+3

Passo 4

Queremos h tal que fl(h(x)r)=x. Escrevendo y=h(x) e resolvendo
2y-1=x Longrightarrow y=x+12
Logo, definimos
h(x)=x+12
Verificação:
(fcirc h)(x)=2l(tfracx+12r)-1=x+1-1=x, (hcirc f)(x)=tfrac2x-1+12=tfrac2x2=x

Passo 5

Queremos j tal que gl(j(x)r)=x. Escrevendo y=j(x) e resolvendo
-y+2=x Longrightarrow y=2-x
Então
j(x)=2-x
Verificação:
(gcirc j)(x)=-l(2-xr)+2=x-2+2=x, (jcirc g)(x)=2-(-x+2)=x

Passo 6

Como f e g são bijeções em R, suas funções inversas são únicas. Se existissem duas inversas distintas para f, digamos h1 e h2, teríamos h1=f^-1=h2 por cancelamento de composições em bijeções. O mesmo vale para j.

Resposta

(a) (fcirc g)(x)=-2x+3, (gcirc f)(x)=-2x+3.
(b) h(x)=tfracx+12.
(c) j(x)=2-x.
(d) Sim, ambas são únicas, pois inversa de bijeção é única.

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