Sejam as funções
, dadas por
e
, para todo
.
(a) Determine as funções
e
, para todo
.
(b) Mostre que existe
tal que
e
, para todo
.
(c) Mostre que existe
tal que
e
, para todo
.
(d) As funções
e
obtidas nos itens anteriores são únicas? Justifique.
(a) Determine as funções
(b) Mostre que existe
(c) Mostre que existe
(d) As funções
Passo 1
O enunciado dá duas funções lineares
definidas por
Pede (a) as composições
e
, (b) achar
que seja inversa de
, (c) achar
que seja inversa de
, e (d) discutir a unicidade de
e
. Vamos usar álgebra elementar e a definição de função inversa de bijeções.
Passo 2
Para
usamos
Passo 3
Para
temos
Passo 4
Queremos
tal que
. Escrevendo
e resolvendo
Logo, definimos
Verificação:
Passo 5
Queremos
tal que
. Escrevendo
e resolvendo
Então
Verificação:
Passo 6
Como
e
são bijeções em
, suas funções inversas são únicas. Se existissem duas inversas distintas para
, digamos
e
, teríamos
por cancelamento de composições em bijeções. O mesmo vale para
.
Resposta
(a)
,
.
(b) .
(c) .
(d) Sim, ambas são únicas, pois inversa de bijeção é única.
(b)
(c)
(d) Sim, ambas são únicas, pois inversa de bijeção é única.