Em cada um dos Problemas de 19 a 26:
(a) Determine uma forma adequada para Y(t) para se usar o método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime+2 y^prime+5 y=3 t e^-t cos 2 t-2 t e^-2 t cos t

Passo 1

O enunciado pede para usar o método dos coeficientes indeterminados para resolver a EDO
y''+2y'+5y=3t e^-tcos2t-2t e^-2tcos t
Vamos precisar do conceito de polinômio (grau do termo em t), exponencial e parte senoidal, além de saber como tratar casos de ressonância com as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro achamos as raízes da equação característica associada à parte homogênea:
r^2+2r+5=0Rightarrow r=-1pm2i
Isso significa que funções da forma e^-tcos2t e e^-tsin2t pertencem ao espaço das soluções homogêneas. Para cada termo de força do tipo P(t)e^alpha tcos(beta t) ou sin, se alpha+ ibeta for raiz da característica com multiplicidade s, multiplica-se a proposta por t^s.

Passo 3

Para o primeiro termo da força, 3t e^-tcos2t, temos alpha=-1, beta=2 e o polinômio P(t)=3t de grau 1. Como -1+2i é raiz simples da característica ( s=1), multiplicamos por t. A proposta é
Y1(t)=e^-tl[(A t^2+B t)cos2t+(C t^2+D t)sin2tr]

Passo 4

Para o segundo termo da força, -2t e^-2tcos t, temos alpha=-2, beta=1 e P(t)=-2t de grau 1. Como -2pm i não são raízes da característica ( s=0), não multiplicamos por t. A proposta é
Y2(t)=e^-2tl[(E t+F)cos t+(G t+H)sin tr]

Passo 5

Por fim, somamos as duas partes para obter a forma geral da solução particular:
Y(t)=Y1(t)+Y2(t)

Resposta

Y(t)=e^-tl[(A t^2+B t)cos2t+(C t^2+D t)sin2tr] +e^-2tl[(E t+F)cos t+(G t+H)sin tr]

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