Verifique se as seguintes sequências convergem ou divergem. Se convergir encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência matemática e precisa descobrir se ela converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico conforme os termos aumentam) ou diverge (se não se aproxima de nada e continua variando). Se ela convergir, também vamos encontrar qual é esse limite. A sequência que vamos analisar é:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre sequências e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar o entendimento. Temos:
Podemos dividir a fração:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada parte separadamente:
-
: Esse termo alterna entre 1 e -1 conforme n aumenta. Ou seja: - Se n é par:
- Se n é ímpar:
- Se n é par:
-
: Conforme n cresce, esse termo tende a 0, porque o denominador aumenta muito.
Passo 4
Vamos ver o que acontece com a sequência para valores pares e ímpares de n:
-
Para n par:
-
- Então,
-
-
Para n ímpar:
-
- Então,
-
Passo 5
Observamos que a sequência alterna entre 0 e -6 conforme n aumenta. Isso significa que ela não está se aproximando de nenhum número específico, mas sim pulando entre esses dois valores.
Resposta
A sequência diverge, pois ela não se aproxima de um único limite e continua alternando entre 0 e -6 conforme n aumenta.