Verifique se as seguintes sequências convergem ou divergem. Se convergir encontre o limite.
[(-1)^n-1] 3 n^2+2n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência matemática e precisa descobrir se ela converge (ou seja, se ela se aproxima de um número específico conforme os termos aumentam) ou diverge (se não se aproxima de nada e continua variando). Se ela convergir, também vamos encontrar qual é esse limite. A sequência que vamos analisar é:
[(-1)^n-1] 3 n^2+2n^2
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre sequências e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar o entendimento. Temos:
an = [(-1)^n - 1] cdot 3n^2 + 2n^2
Podemos dividir a fração:
an = [(-1)^n - 1] cdot (3 + 2n^2)

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte separadamente:
  1. (-1)^n: Esse termo alterna entre 1 e -1 conforme n aumenta. Ou seja:
    • Se n é par: (-1)^n = 1
    • Se n é ímpar: (-1)^n = -1
  2. 2n^2: Conforme n cresce, esse termo tende a 0, porque o denominador aumenta muito.

Passo 4

Vamos ver o que acontece com a sequência para valores pares e ímpares de n:
  • Para n par:
    • (-1)^n - 1 = 1 - 1 = 0
    • Então, an = 0 cdot (3 + 0) = 0
  • Para n ímpar:
    • (-1)^n - 1 = -1 - 1 = -2
    • Então, an = -2 cdot (3 + 0) = -6

Passo 5

Observamos que a sequência alterna entre 0 e -6 conforme n aumenta. Isso significa que ela não está se aproximando de nenhum número específico, mas sim pulando entre esses dois valores.

Resposta

A sequência diverge, pois ela não se aproxima de um único limite e continua alternando entre 0 e -6 conforme n aumenta.

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