Em cada um dos Problemas de 19 a 26:
(a) Determine uma forma adequada para Y(t) para se usar o método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime-5 y^prime+6 y=e^t cos 2 t+e^3(3 t+4) sen t

Passo 1

O enunciado pede a forma de palpite para resolver por coeficientes indeterminados a EDO
y''-5y'+6y=e^tcos2t+e^3t(3t+4)sin t,
o conteúdo é método dos coeficientes indeterminados: vamos precisar da solução complementar e de regras para o termo não-homogêneo.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y''-5y'+6y=0,
com equação característica r^2-5r+6=0 cujas raízes são r=2 e r=3. Como os termos forçantes não envolvem e^2t nem e^3t puros, não há ressonância com a parte complementar.

Passo 3

Para o primeiro termo não-homogêneo e^tcos2t, aplicamos a regra: quando tivermos e^alpha tcos(beta t) ou e^alpha tsin(beta t), o palpite é
Y1(t)=e^alpha t(Acosbeta t+Bsinbeta t)
Aqui alpha=1 e beta=2, logo
Y1(t)=e^t(Acos2t+Bsin2t)

Passo 4

Para o segundo termo e^3t(3t+4)sin t, temos alpha=3, beta=1 e um polinômio de grau 1 em t. A regra diz: use polinômio do mesmo grau em cada parte seno e cosseno, sem multiplicar por t extra (sem ressonância). Logo o palpite é
Y2(t)=e^3t[(Ct+D)cos t+(Et+F)sin t]

Passo 5

Combinando os dois palpites, a forma geral para a solução particular é
Y(t)=Y1(t)+Y2(t)=e^t(Acos2t+Bsin2t)+e^3t[(Ct+D)cos t+(Et+F)sin t]

Resposta

Y(t)=e^t(Acos2t+Bsin2t)+e^3t[(Ct+D)cos t+(Et+F)sin t]

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