Verifique se as seguintes sequências convergem ou divergem. Se convergir encontre o limite.
an=n^2 ln (1+3n^2)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por . Precisamos verificar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, encontramos o limite. Aqui, vamos usar conceitos de limites e propriedades dos logaritmos para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que quando tende para infinito, tende a zero. Então, estamos lidando com . Para pequenos valores de , sabemos que . Isso é uma aproximação útil.

Passo 3

Vamos aplicar essa aproximação na nossa expressão:
an = n^2 ln (1 + 3n^2) approx n^2 cdot 3n^2 = 3
Isso sugere que o limite pode ser 3.

Passo 4

Para confirmar, vamos calcular o limite formalmente:
limn to infty n^2 ln (1 + 3n^2)
Podemos usar o fato de que limn to infty n^2 cdot 3n^2 = 3 . Então, substituindo :

Resposta

A sequência converge e o limite é 3.

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