Verifique se as seguintes sequências convergem ou divergem. Se convergir encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por
e precisa descobrir se ela converge (isto é, se se aproxima de um valor específico conforme
cresce) ou diverge (não se aproxima de nenhum valor). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar nossa análise. Observamos que o denominador é
, que pode ser reescrito como
. Então, temos:
Passo 3
Agora, para simplificar ainda mais, vamos multiplicar numerador e denominador por
:
O que nos dá:
Passo 4
Para encontrar o limite de
quando
tende ao infinito, analisamos o comportamento de
conforme
cresce. Sabemos que quando
vai para infinito,
tende a 0. E como
pode ser aproximado por
quando
é próximo de 0, temos:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na expressão de
, temos:
Simplificando:
Passo 6
Portanto, conforme
tende ao infinito,
se aproxima de
. Isso significa que a sequência converge.
Resposta
A sequência converge e o seu limite é
.