Verifique se as seguintes sequências convergem ou divergem. Se convergir encontre o limite.
an=1-e^1 / n-3 / n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por e precisa descobrir se ela converge (isto é, se se aproxima de um valor específico conforme cresce) ou diverge (não se aproxima de nenhum valor). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência para facilitar nossa análise. Observamos que o denominador é an = 1 - e^1/n-3 cdot 1n = 1 - e^1/n-3n , que pode ser reescrito como . Então, temos:

Passo 3

Agora, para simplificar ainda mais, vamos multiplicar numerador e denominador por an = n(1 - e^1/n)-3 :
an = -n(1 - e^1/n)3
O que nos dá:

Passo 4

Para encontrar o limite de e^1/n approx 1 + 1n quando tende ao infinito, analisamos o comportamento de conforme cresce. Sabemos que quando vai para infinito, tende a 0. E como pode ser aproximado por quando é próximo de 0, temos:

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão de an approx -n(1 - (1 + 1n))3 = -n(-1n)3 , temos:
an approx --13 = 13
Simplificando:

Passo 6

Portanto, conforme tende ao infinito, se aproxima de . Isso significa que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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