Em cada um dos Problemas 1a 3, esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se fé contínua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico de uma função que muda de expressão em diferentes intervalos do tempo $ t $, que vai de 0 a 3. Além disso, precisamos descobrir se essa função é contínua em todo o intervalo, contínua em seções específicas ou se não é contínua nenhuma das duas. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam funções definidas por partes e o que significa uma função ser contínua ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar cada pedaço da função e ver como ela se comporta em cada intervalo:
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Para $ 0 \leq t \leq 1 $, a função é $ f(t) = t^2 $. Essa é uma parábola que abre para cima, passando pelo ponto (0,0) e chegando em (1,1).
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Para $ 1 < t \leq 2 $, a função é $ f(t) = 2 + t $. Isso é uma reta crescente com inclinação 1, que começa logo após $ t = 1 $ e chega até $ t = 2 $, onde o valor de $ f(t) $ é 4.
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Para $ 2 < t \leq 3 $, a função é $ f(t) = 6 - t $. Essa é uma reta decrescente com inclinação -1, começando logo após $ t = 2 $ e chegando até $ t = 3 $, onde $ f(t) $ é 3.
Vamos esboçar esses três pedaços no gráfico para visualizar melhor.
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade da função. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando $ t $ se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite pela direita e também igual ao valor da função nesse ponto.
Temos que verificar a continuidade nos pontos onde a função muda de expressão, ou seja, em $ t = 1 $ e $ t = 2 $.
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Em $ t = 1 $:
- Limite pela esquerda: $ \lim_{t \to 1^-} f(t) = (1)^2 = 1 $
- Limite pela direita: $ \lim_{t \to 1^+} f(t) = 2 + 1 = 3 $
- Como 1 ≠ 3, a função não é contínua em $ t = 1 $.
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Em $ t = 2 $:
- Limite pela esquerda: $ \lim_{t \to 2^-} f(t) = 2 + 2 = 4 $
- Limite pela direita: $ \lim_{t \to 2^+} f(t) = 6 - 2 = 4 $
- Aqui, os limites são iguais e também $ f(2) = 4 $, então a função é contínua em $ t = 2 $.
Resposta
A função é seccionalmente contínua no intervalo $ 0 \leq t \leq 3 $. Ela é contínua em cada pedaço considerado, mas apresenta uma descontinuidade em $ t = 1 $.