Em cada um dos problemas a seguir, determine se o conjunto de vetores dado é linearmente independente. Se for linearmente dependente, encontre uma relação linear entre os vetores. Os vetores estão escritos na forma de linhas para economizar espaço, mas podem ser considerados como vetores colunas, ou seja, podem ser usadas as transpostas dos vetores dados, em vez dos próprios vetores.
(a) Res: L.I.
(b) Res: L.I.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se cada conjunto de vetores é linearmente independente, usando a definição de que eles são L.I. se a única combinação linear que dá o vetor zero é a trivial (todos os coeficientes nulos). Vamos precisar montar equações do tipo e checar se só a solução satisfaz.
Passo 2
Para (a), tomo . Isso gera o sistema de três equações:
Somando a primeira e a segunda equação obtemos 2c1 + c2 + c3 = 0, que comparada à soma da segunda e da terceira c1 + 2c2 + c3 = 0 leva a c1=c2. Substituindo em qualquer uma volta-se a conclusão de que c1=c2=c3=0. Logo, só há a solução trivial, então são L.I.
Passo 3
Para (b), considero c1(1,2,-1,0)+c2(2,3,1,-1)+c3(-1,0,2,2)+c4(3,-1,1,3)=(0,0,0,0). Isso gera o sistema:
c1+2c2 - c3+3c4=0,2c1+3c2+0c3 -c4=0,-c1+c2+2c3 +c4=0,0c1 -c2+2c3+3c4=0
Usando eliminação de Gauss, expressamos c1 em função de c2,c3,c4 pela primeira equação, substituímos nas demais e chegamos a relações que forçam c1=c2=c3=c4=0. Como só existe a solução trivial, conclui-se que o conjunto também é L.I.
Passo 4
Em ambos os itens, ao resolver o sistema associado à combinação linear nula, a única solução encontrada é a trivial. Portanto, em (a) e em (b) os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores do item (a) são linearmente independentes e os vetores do item (b) são linearmente independentes.