Nos Exercícios de 1 a 20, calcule a integral indefinida.
integral 3 x^2-x+1x^3-x^2 d x

Passo 1

Estamos querendo calcular a integral indefinida
integral 3x^2-x+1x^3-x^2,dx
O conteúdo aqui é integração de funções racionais por frações parciais: vamos precisar fatorar o denominador e decompor em termos simples.

Passo 2

Primeiro, note que o grau do numerador (2) é menor que o do denominador (3), então já temos uma função racional própria. Vamos fatorar o denominador:
x^3-x^2=x^2(x-1)

Passo 3

Agora montamos a decomposição em frações parciais. Como o denominador é x^2(x-1), escrevemos
3x^2-x+1x^2(x-1)= racAx + Bx^2 + Cx-1
Multiplicando ambos os lados por x^2(x-1) temos a identidade
3x^2-x+1 = A,x(x-1) + B(x-1) + C,x^2

Passo 4

Vamos expandir e igualar coeficientes. Do lado direito:
A,x(x-1)+B(x-1)+C x^2 = A x^2-A x + Bx - B + C x^2 = (A+C)x^2+(-A+B)x - B
Comparando com 3x^2-x+1 obtemos o sistema
A + C = 3, -B = 1, -B + (-A + B)x em x-, mas isolamos -A+B=-1
Ou seja,
A+C=3, -A+B=-1, -B=1

Passo 5

Resolvendo:
  • De -B=1 vem B=-1.
  • De -A+B=-1 com B=-1 temos -A-1=-1 A=0.
  • Finalmente, A+C=3 C=3.
Logo
3x^2-x+1x^2(x-1) = -1x^2 + 3x-1

Passo 6

Agora é só integrar cada termo usando integral x^ndx = x^n+1/(n+1) e integral1x-adx=ln|x-a|:
integrall(-x^-2+3,(x-1)^-1r)dx = integral -x^-2dx +3integral 1x-1dx
Calculando:
integral -x^-2dx = x^-1,
3integral 1x-1dx = 3ln|x-1|

Passo 7

Somando os resultados, obtemos
1x+3lnlvert x-1rvert + C

Resposta

1x+3lnlvert x-1rvert + C

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