Nos Exercícios de 1 a 20, calcule a integral indefinida.
Passo 1
Estamos querendo calcular a integral indefinida
O conteúdo aqui é integração de funções racionais por frações parciais: vamos precisar fatorar o denominador e decompor em termos simples.
Passo 2
Primeiro, note que o grau do numerador (2) é menor que o do denominador (3), então já temos uma função racional própria. Vamos fatorar o denominador:
Passo 3
Agora montamos a decomposição em frações parciais. Como o denominador é
, escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
temos a identidade
Passo 4
Vamos expandir e igualar coeficientes. Do lado direito:
Comparando com
obtemos o sistema
Ou seja,
Passo 5
Resolvendo:
- De
vem-B=1 .B=-1 - De
com-A+B=-1 temosB=-1 ⇒-A-1=-1 .A=0 - Finalmente,
dáA+C=3 .C=3
Logo
Passo 6
Agora é só integrar cada termo usando
integral x^ndx = x^n+1/(n+1) e
integral1x-adx=ln|x-a| :
Calculando:
Passo 7
Somando os resultados, obtemos