Encontre a transformada de Laplace de f(t)=cos (a t), em que a é uma constante real.
Lembre-se de que
cosh (b t)=12(e^b t+e^-b t) e senh(b t)=12(e^b t-e^-b t)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de f(t)=cos(a t). O tema aqui é transformada de Laplace e vamos precisar da definição, da propriedade de linearidade e da fórmula de Euler para a função cosseno.

Passo 2

Usamos a fórmula de Euler que expressa o cosseno em termos de exponenciais complexas:
cos(a t)=e^i a t+e^-i a t2

Passo 3

Aplicando a definição da transformada de Laplace e a linearidade, temos:
Lcos(a t)(s)=integral0^inftye^-s tcos(a t),dt=12l(integral0^inftye^-s te^i a t,dt+integral0^inftye^-s te^-i a t,dtr)

Passo 4

Cada integral é do tipo integral0^inftye^-(smp i a)t,dt, que converge para Re(s)>0 e vale:
integral0^inftye^-(smp i a)t,dt=1smp i a

Passo 5

Substituindo de volta e somando as frações:
12l(1s - i a+1s + i ar)=12cdot(s + i a)+(s - i a)(s - i a)(s + i a)=ss^2+a^2

Resposta

ss^2+a^2

Exercícios relacionados