Em cada um dos Problemas 20 a 25 , encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando t infty ?
y^(4)-4 y^m+4 y^prime prime=0 ; y(1)=-1, y^prime(1)=2,
y^prime prime(1)=0, y^prime prime prime(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial de quarta ordem:
– Equação: y^(4) - 4y'' + 4y = 0
– Condições em t=1: y(1)=-1, y'(1)=2, y''(1)=0, y'''(1)=0
O conteúdo é EDO com coeficientes constantes e vamos precisar do método do polinômio característico.

Passo 2

Procuramos raízes de
r^4 - 4r^2 + 4 = 0
que fatoriza em (r^2 - 2)^2 = 0. Logo temos raízes duplas e .

Passo 3

Da teoria, para cada raiz dupla r0 a parte da solução é (A + Bt)e^r0 t. Assim a solução geral é
y(t) = (C1 + C2 t)e^raiz2 ,t + (C3 + C4 t)e^-raiz2 ,t

Passo 4

Calculamos y',y'',y''' e impomos as quatro condições em t=1. Isso gera um sistema linear em C1,C2,C3,C4.

Passo 5

Resolvendo o sistema (aproximadamente) obtemos
C1 approx 0.1712, C2 approx -0.03531, C3 approx -2.904, C4 approx -3.506

Passo 6

Logo a solução fica
y(t) = l(0.1712 - 0.03531,tr)e^raiz2 ,t - l(2.904 + 3.506,tr)e^-raiz2 ,t

Passo 7

Fazendo o gráfico (por exemplo num software ou folha), observa-se que para t>1 logo se destaca o termo -0.03531,t,e^raiz2 t, que cresce (em valor absoluto) negativamente.

Passo 8

Olhando para ttoinfty, o termo dominante é
C2,t,e^raiz2 t,
com C2<0, então
y(t)to -infty (ttoinfty)

Resposta

A solução explícita é
y(t) = (0.1712 - 0.03531,t)e^raiz2,t - (2.904 + 3.506,t)e^-raiz2,t
Como ttoinfty, o termo -0.03531,t,e^raiz2 t domina e faz com que y(t)to -infty.

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