Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
y^prime prime-7 y^prime+12 y=x

Passo 1

Nesse exercício a gente tem uma equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes: y''-7y'+12y=x. O que precisamos: teoria de resolução de EDOs lineares com solução geral dada por y=yh+yp, onde yh é a solução da parte homogênea e yp é uma particular.

Passo 2

Para achar yh, consideramos a equação homogênea y''-7y'+12y=0. Montamos a equação característica:
r^2 -7r +12 = 0
Resolvendo, obtemos as raízes r1=3 e r2=4. Logo, a parte homogênea é
yh = C1 e^3x + C2 e^4x,
com constantes arbitrárias C1 e C2.

Passo 3

Como o termo não-homogêneo x é um polinômio de grau 1, escolhemos um palpite também polinomial de grau 1: yp = Ax + B. Calculamos as derivadas
yp' = A,
yp'' = 0
Substituímos na equação original:
0 - 7A + 12(Ax + B) = x
Isso dá
12Ax + (12B -7A) = x
Comparando coeficientes de x e termo constante:
- Para x: 12A = 1 A = tfrac112.
- Constante: 12B -7A = 0 12B = 7/12 B = tfrac7144

Passo 4

A solução geral da EDO é a soma de yh com yp. Então
y(x) = C1 e^3x + C2 e^4x + x12 + 7144

Resposta

y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{4x} + \frac{x}{12} + \frac{7}{144}

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