Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
Passo 1
Nesse exercício a gente tem uma equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes:
. O que precisamos: teoria de resolução de EDOs lineares com solução geral dada por
, onde
é a solução da parte homogênea e
é uma particular.
Passo 2
Para achar
, consideramos a equação homogênea
. Montamos a equação característica:
Resolvendo, obtemos as raízes
com constantes arbitrárias
e
.
Passo 3
Como o termo não-homogêneo
é um polinômio de grau 1, escolhemos um palpite também polinomial de grau 1:
. Calculamos as derivadas
Substituímos na equação original:
Isso dá
Comparando coeficientes de
- Para
- Constante:
Passo 4
A solução geral da EDO é a soma de
com
. Então
Resposta
y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{4x} + \frac{x}{12} + \frac{7}{144}