Calcule rot f, onde f é um campo vetorial dado por:
f(x, y, z)=2 x^2 y^2 i+3 x y z j+y^2 z k

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional (curl) do campo vetorial vec f(x,y,z)=2x^2y^2,vec i+3xyz,vec j+y^2z,vec k. O assunto é cálculo vetorial: precisamos usar a definição de rotacional em coordenadas cartesianas, que envolve derivadas parciais.

Passo 2

A definição do rotacional de vec f=(f1,f2,f3) é dado por
nablatimesvec f=l(partial f3partial y-partial f2partial z,;partial f1partial z-partial f3partial x,;partial f2partial x-partial f1partial yr)

Passo 3

Agora, identifiquemos as componentes: f1=2x^2y^2, f2=3xyz e f3=y^2z.
Calculamos cada derivada necessária:
– Para a primeira componente:
partial f3partial y=partialpartial y(y^2z)=2yz,partial f2partial z=partialpartial z(3xyz)=3xy
Então
(nablatimesvec f)x=2yz-3xy=y(2z-3x)

Passo 4

– Para a segunda componente:
partial f1partial z=partialpartial z(2x^2y^2)=0,partial f3partial x=partialpartial x(y^2z)=0,
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(nablatimesvec f)y=0-0=0

Passo 5

– Para a terceira componente:
partial f2partial x=partialpartial x(3xyz)=3yz,partial f1partial y=partialpartial y(2x^2y^2)=4x^2y
Assim
(nablatimesvec f)z=3yz-4x^2y=y(3z-4x^2)

Passo 6

Reunindo tudo, obtemos o rotacional de vec f.

Resposta

nablatimesvec f=l(y(2z-3x),;0,;y(3z-4x^2)r).

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