Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
Passo 1
O exercício pede para resolver a EDO linear não-homogênea de 4ª ordem com coeficientes constantes
ou seja, é um problema de equações diferenciais lineares não-homogêneas, em que vamos usar o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
A equação característica é
que tem raízes
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a parte não-homogênea, como o termo fonte é
assumimos um palpite do tipo
pois é a forma
vezes seno/cosseno e ela não coincide com nenhum termo de
.
Passo 4
Agora aplicamos o operador
em
. Usando que para
vale
$$y{(IV)}=e{ax}\bigl(f’’’’+4a f’’’+6a^2 f’’+4a^3 f’+a^4 f\bigr)
\quade\quad f’’=-a2f,;f’’’=-a2f’,;f’’’’=a^4f,$$
obtém-se
Esse resultado deve igualar ao lado direito original:
Passo 5
Dividindo por
e igualando coeficientes de
e
, temos
logo
Portanto
A solução geral da EDO não-homogênea é a soma de
e
.