Integrar as equações diferenciais não-homogêneas de coeficientes constantes
y^I V-a^4 y=5 a^4 exp [a x] sen a x

Passo 1

O exercício pede para resolver a EDO linear não-homogênea de 4ª ordem com coeficientes constantes
y^(IV) - a^4 y = 5a^4 e^axsin(ax),
ou seja, é um problema de equações diferenciais lineares não-homogêneas, em que vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y^(IV) - a^4 y = 0
A equação característica é
r^4 - a^4 = 0
que tem raízes
r = a, r = -a, r = i a, r = -i a
Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^ax + C2 e^-ax + C3,cos(ax) + C4,sin(ax)

Passo 3

Para a parte não-homogênea, como o termo fonte é
5a^4 e^axsin(ax),
assumimos um palpite do tipo
yp(x) = e^axl(Acos(ax) + Bsin(ax)r),
pois é a forma e^ax vezes seno/cosseno e ela não coincide com nenhum termo de yh.

Passo 4

Agora aplicamos o operador L[y]=y^(IV)-a^4y em yp. Usando que para f(x)=Acos(ax)+Bsin(ax) vale
$$y{(IV)}=e{ax}\bigl(f’’’’+4a f’’’+6a^2 f’’+4a^3 f’+a^4 f\bigr)
\quade\quad f’’=-a2f,;f’’’=-a2f’,;f’’’’=a^4f,$$
obtém-se
y^(IV)=e^axl(f''''+4a f'''+6a^2 f''+4a^3 f'+a^4 fr) e f''=-a^2f,;f'''=-a^2f',;f''''=a^4f,
Esse resultado deve igualar ao lado direito original:
L[yp]=y^(IV)-a^4yp=-5a^4 e^axl(Acos(ax)+Bsin(ax)r)

Passo 5

Dividindo por 5a^4 e igualando coeficientes de cos(ax) e sin(ax), temos
-A=0, -B=1
logo
A=0, B=-1
Portanto
yp(x)=-e^axsin(ax)
A solução geral da EDO não-homogênea é a soma de yh e yp.

Resposta

y(x)=C1e^ax+C2e^-ax+C3cos(ax)+C4sin(ax)-e^axsin(ax)

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