Em cada um dos Problemas 20 a 25 , encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando
?
,
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de 4ª ordem
com condições iniciais
(
y(0)=0,\ y’(0)=0,\ y’’(0)=-1,\ y’’’(0)=0.
]
O conteúdo aqui é EDO de coeficientes constantes: vamos usar a equação característica e depois ajustar os constantes via condições iniciais.
(
y(0)=0,\ y’(0)=0,\ y’’(0)=-1,\ y’’’(0)=0.
]
O conteúdo aqui é EDO de coeficientes constantes: vamos usar a equação característica e depois ajustar os constantes via condições iniciais.
Passo 2
Começamos montando a equação característica
Suas raízes são
o que dá partes real e imaginária iguais a
.
Passo 3
A solução geral real é combinação de exponenciais moduladas por cosseno e seno. Definindo
vemos que
vemos que
Passo 4
Agora usamos as condições iniciais. Calcula-se
Isso gera um sistema em .
Isso gera um sistema em
Passo 5
Resolvendo o sistema achamos
Substituindo de volta, só ficam termos em seno.
Substituindo de volta, só ficam termos em seno.
Passo 6
Com esses valores, a solução particular fica
e reconhecendo
obtemos
Passo 7
O gráfico de
é uma oscilação de frequência
cuja amplitude cresce como
. Quando
, a solução diverge exponencialmente em módulo, mantendo as oscilações.
Resposta
y(t) = -\sinh\bigl(\tfrac{t}{\sqrt2}\bigr) \sin\bigl(\tfrac{t}{\sqrt2}\bigr). Para t\to\infty, |y(t)| cresce exponencialmente, com oscilações.