Em cada um dos Problemas 20 a 25 , encontre a solução do problema de valor inicial dado e faça seu gráfico. Como a solução se comporta quando t infty ?
y^(4)+y=0 ; y(0)=0, y^prime(0)=0,
y^prime prime(0)=-1, y^prime prime prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de 4ª ordem
y^(4) + y = 0
com condições iniciais
(
y(0)=0,\ y’(0)=0,\ y’’(0)=-1,\ y’’’(0)=0.
]
O conteúdo aqui é EDO de coeficientes constantes: vamos usar a equação característica e depois ajustar os constantes via condições iniciais.

Passo 2

Começamos montando a equação característica
r^4 + 1 = 0
Suas raízes são
rk = e^iigl(pi4 + kpi2r), k=0,1,2,3 
o que dá partes real e imaginária iguais a pmraiz22.

Passo 3

A solução geral real é combinação de exponenciais moduladas por cosseno e seno. Definindo
y(t)=e^alpha tl(Acos(beta t)+Bsin(beta t)r) +e^-alpha tl(Ccos(beta t)+Dsin(beta t)r)
vemos que

Passo 4

Agora usamos as condições iniciais. Calcula-se
A,B,C,D
Isso gera um sistema em .

Passo 5

Resolvendo o sistema achamos

Substituindo de volta, só ficam termos em seno.

Passo 6

Com esses valores, a solução particular fica
y(t)=B,e^alpha tsin(beta t)+D,e^-alpha tsin(beta t) =-tfrac12e^alpha tsin(beta t)+tfrac12e^-alpha tsin(beta t)
e reconhecendo sinh obtemos
y(t)=-sinhl(tfractraiz2r)sinl(tfractraiz2r)

Passo 7

O gráfico de y(t) é uma oscilação de frequência tfrac1raiz2 cuja amplitude cresce como sinh(t/raiz2). Quando ttoinfty, a solução diverge exponencialmente em módulo, mantendo as oscilações.

Resposta

y(t) = -\sinh\bigl(\tfrac{t}{\sqrt2}\bigr) \sin\bigl(\tfrac{t}{\sqrt2}\bigr). Para t\to\infty, |y(t)| cresce exponencialmente, com oscilações.

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