Calcule a área da região limitada pelas curvas:
e
Passo 1
A gente quer achar a área da região delimitada pelas curvas
e
. O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas definidas como
, e vamos precisar usar integração em relação a
, encontrando primeiro os pontos de interseção e depois qual curva está à direita.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos
. Isso dá
, ou seja
. Logo,
e
. Esses são os limites em
.
Passo 3
Precisamos saber, em cada intervalo de
, qual curva tem o
maior (é a fronteira direita). Se escolhermos, por exemplo,
, temos
, então para
a fronteira direita é
e a esquerda é
. Para
, testando
,
, portanto a fronteira direita é
e a esquerda é
.
Passo 4
Agora montamos a integral da área como diferença entre as abscissas das fronteiras direita e esquerda em cada intervalo:
$$ A = \int_{-1}{0}\bigl(y3 - y\bigr),dy ;+
\int_{0}^{1}\bigl(y - y^3\bigr),dy. $$
Passo 5
Vamos calcular cada integral:
Para a primeira,
Para a primeira,
$$ \int_{-1}{0}(y3 - y),dy = \Bigl[\tfrac{y^4}{4} - \tfrac{y2}{2}\Bigr]_{-1}{0}
=\bigl(0-0\bigr)-\Bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}\Bigr)=\tfrac{1}{4}.
\int_{0}^{1}(y - y^3),dy = \Bigl[\tfrac{y^2}{2} - \tfrac{y4}{4}\Bigr]_{0}{1}
=\bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}\bigr)-0=\tfrac{1}{4}. $$
Somando as duas partes, a área é .
Somando as duas partes, a área é
Resposta
\tfrac{1}{2}