Calcule a área da região limitada pelas curvas: x=y^3 e x=y

Passo 1

A gente quer achar a área da região delimitada pelas curvas x=y^3 e x=y. O conteúdo aqui é cálculo de área entre curvas definidas como x=f(y), e vamos precisar usar integração em relação a y, encontrando primeiro os pontos de interseção e depois qual curva está à direita.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos y^3=y. Isso dá y^3-y=0, ou seja y(y^2-1)=0. Logo, y=-1,;0 e 1. Esses são os limites em y.

Passo 3

Precisamos saber, em cada intervalo de y, qual curva tem o x maior (é a fronteira direita). Se escolhermos, por exemplo, y=-0.5, temos y^3=-0.125>-0.5=y, então para yin[-1,0] a fronteira direita é x=y^3 e a esquerda é x=y. Para yin[0,1], testando y=0.5, y^3=0.125<0.5=y, portanto a fronteira direita é x=y e a esquerda é x=y^3.

Passo 4

Agora montamos a integral da área como diferença entre as abscissas das fronteiras direita e esquerda em cada intervalo:
$$ A = \int_{-1}{0}\bigl(y3 - y\bigr),dy ;+
\int_{0}^{1}\bigl(y - y^3\bigr),dy. $$

Passo 5

Vamos calcular cada integral:
Para a primeira,
$$ \int_{-1}{0}(y3 - y),dy = \Bigl[\tfrac{y^4}{4} - \tfrac{y2}{2}\Bigr]_{-1}{0}
=\bigl(0-0\bigr)-\Bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}\Bigr)=\tfrac{1}{4}. integral-1^0(y^3 - y),dy = l[tfracy^44 - tfracy^22r]-1^0 =l(0-0r)-l(tfrac14-tfrac12r)=tfrac14 \int_{0}^{1}(y - y^3),dy = \Bigl[\tfrac{y^2}{2} - \tfrac{y4}{4}\Bigr]_{0}{1}
=\bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}\bigr)-0=\tfrac{1}{4}. $$
Somando as duas partes, a área é integral0^1(y - y^3),dy = l[tfracy^22 - tfracy^44r]0^1 =l(tfrac12-tfrac14r)-0=tfrac14 .

Resposta

\tfrac{1}{2}

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