Determine a área da região no primeiro quadrante, limitada à esquerda pelo eixo
, abaixo pela curva
, acima à esquerda pela curva
e acima à direita pela reta
.
Passo 1
Vamos desenrolar o enunciado: queremos a área no primeiro quadrante limitada à esquerda por x=0, abaixo pela curva x=2√y, acima à esquerda pela curva x=(y−1)² e acima à direita pela reta x=3−y. O conteúdo é cálculo de área por integração, então vamos reescrever cada fronteira como y=função de x e achar onde trocam de papel.
Passo 2
Reescrevendo as fronteiras em forma y=f(x): a curva x=2√y dá y₁(x)=x²/4; a curva x=(y−1)², no ramo superior, dá y₂(x)=1+√x; a reta x=3−y dá y₃(x)=3−x. A região é tal que y vai de y₁(x) até min(y₂(x),y₃(x)), e x vai de 0 até o ponto em que y₁ e y₃ se cruzam.
Passo 3
Determinar onde y₂(x)=y₃(x):
Isso leva a √x=2−x, com solução válida x=1. Então até x=1 o teto é y₂, e depois dele (até encontrar y₁=y₃) o teto é y₃.
Passo 4
A interseção de y₁ e y₃ vem de
que dá x=2 (descartando raiz negativa). Logo a região em x vai de 0 a 2, trocando a função de teto em x=1.
Passo 5
Montamos então a integral da área como soma de dois pedaços:
$$A=\int_{0}{1}\bigl[(1+\sqrt{x})-\tfrac{x2}{4}\bigr]dx;+
\int_{1}{2}\bigl[(3-x)-\tfrac{x2}{4}\bigr]dx.$$
Passo 6
Calculamos cada parte:
Primeiro
Primeiro
Passo 7
Segundo
Passo 8
Somando as duas parcelas obtemos
Resposta
A área da região vale
.