Determine a área da região no primeiro quadrante, limitada à esquerda pelo eixo y, abaixo pela curva x=2 raizy, acima à esquerda pela curva x=(y-1)^2 e acima à direita pela reta x=3-y.

Passo 1

Vamos desenrolar o enunciado: queremos a área no primeiro quadrante limitada à esquerda por x=0, abaixo pela curva x=2√y, acima à esquerda pela curva x=(y−1)² e acima à direita pela reta x=3−y. O conteúdo é cálculo de área por integração, então vamos reescrever cada fronteira como y=função de x e achar onde trocam de papel.

Passo 2

Reescrevendo as fronteiras em forma y=f(x): a curva x=2√y dá y₁(x)=x²/4; a curva x=(y−1)², no ramo superior, dá y₂(x)=1+√x; a reta x=3−y dá y₃(x)=3−x. A região é tal que y vai de y₁(x) até min(y₂(x),y₃(x)), e x vai de 0 até o ponto em que y₁ e y₃ se cruzam.

Passo 3

Determinar onde y₂(x)=y₃(x):
1+raizx=3-x
Isso leva a √x=2−x, com solução válida x=1. Então até x=1 o teto é y₂, e depois dele (até encontrar y₁=y₃) o teto é y₃.

Passo 4

A interseção de y₁ e y₃ vem de
x^2/4=3-x
que dá x=2 (descartando raiz negativa). Logo a região em x vai de 0 a 2, trocando a função de teto em x=1.

Passo 5

Montamos então a integral da área como soma de dois pedaços:
$$A=\int_{0}{1}\bigl[(1+\sqrt{x})-\tfrac{x2}{4}\bigr]dx;+
\int_{1}{2}\bigl[(3-x)-\tfrac{x2}{4}\bigr]dx.$$

Passo 6

Calculamos cada parte:
Primeiro
integral0^1l(1+raizx-x^2/4r)dx =l[x+tfrac23x^3/2-tfrac112x^3r]0^1 =1+tfrac23-tfrac112=tfrac1912

Passo 7

Segundo
integral1^2l(3-x-x^2/4r)dx =l[3x-tfrac12x^2-tfrac112x^3r]1^2 =l(6-2-tfrac812r)-l(3-tfrac12-tfrac112r) =tfrac1112

Passo 8

Somando as duas parcelas obtemos
A=tfrac1912+tfrac1112=tfrac3012=tfrac52

Resposta

A área da região vale 5/2.

Exercícios relacionados