Em cada um dos Problemas 8 a 19, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^(4)+2 y^prime prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial linear de quarta ordem com coeficientes constantes
y^(4) + 2y'' + y = 0
Conteúdo: equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes; usaremos o método do polinômio característico.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado substituindo y^(k) por r^k:
r^4 + 2r^2 + 1 = 0

Passo 3

Fatoramos o polinômio:
r^4 + 2r^2 + 1 = (r^2 + 1)^2 = 0
Logo, r^2 = -1, ou seja, as raízes são r = i e r = -i, cada uma com multiplicidade 2.

Passo 4

Para raízes complexas conjugadas α ,±, iβ de multiplicidade m, a solução geral é
y(x) = e^αxl[(A0 + A1 x + cdots + Am-1 x^m-1)cos(βx) + (B0 + B1 x + cdots + Bm-1 x^m-1)sin(βx)r]
Aqui temos α=0, β=1 e m=2, portanto

Passo 5

y(x) = (C_1 + C_2 x)\cos x + (C_3 + C_4 x)\sin x

Resposta

y(x) = (C1 + C2 x)cos x + (C3 + C4 x)sin x

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