Determine o domínio da função
f(x, y, z)=sen(x+y)raiz3 x^2+6 y^2+3 z^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
f(x, y, z)=sen(x+y)raiz3 x^2+6 y^2+3 z^2
E queremos descobrir qual é o domínio dessa função. O domínio é basicamente o conjunto de todos os valores de x, y e z para os quais a função está bem definida. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções envolvendo frações e raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da função:
raiz3 x^2+6 y^2+3 z^2
Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela, chamado de radicando, precisa ser positivo. Ou seja:
3 x^2+6 y^2+3 z^2 > 0

Passo 3

Além disso, esse denominador está no fio da navalha da fração, o que significa que ele não pode ser zero, porque não dá para dividir por zero na matemática. Então, além de ser positivo, já estamos garantindo que não vai ser zero.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar:
3 x^2+6 y^2+3 z^2 = 3(x^2 + 2 y^2 + z^2)
Então, temos:
3(x^2 + 2 y^2 + z^2) > 0

Passo 5

Agora, vamos pensar em quando essa expressão seria maior que zero. Como 3 é um número positivo, a desigualdade depende de:
x^2 + 2 y^2 + z^2 > 0
Os quadrados de x, y e z são sempre positivos ou zero. Então, a soma deles será positiva a menos que todos sejam zero ao mesmo tempo.

Passo 6

Portanto, a única situação que não está no domínio é quando x = 0, y = 0 e z = 0 simultaneamente. Em qualquer outro caso, a função está bem definida.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais (x, y, z) exceto o ponto (0, 0, 0). Em notação matemática:
R^3 setminus (0, 0, 0)

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