Determine o valor de a para que a função f definida por: f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{|3 x-1|-|3 x+1|}{x} \text {, se } x>0 \\\ a \text {, se } x=0 \\\ \frac{\operatorname{sen}(a x)}{x}, \text { se } x<0\end{array}\right. seja contínua em \mathbb{R} :
Passo 1
O enunciado dá a função f\) por partes:
\[f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{|3x-1|-|3x+1|}{x}, & \text{se } x>0,\\[6pt] a, & \text{se } x=0,\\[4pt] \displaystyle\frac{\operatorname{sen}(a x)}{x}, & \text{se } x<0. \end{cases}
O que nos pedem: determinar o valor de a\] para que \(f seja contínua em \mathbb{R}.
Informações relevantes fornecidas:
A função está definida por três expressões, dependendo do sinal de x.
O mesmo símbolo a aparece como valor de f em x=0 e na expressão \operatorname{sen}(ax) para x<0.
Para que f seja contínua em \mathbb{R} precisamos que ela seja contínua em todos os pontos; o único ponto potencialmente problemático é x=0 (as outras partes são funções elementares em seus intervalos).]
Passo 2
Conceito necessário (explicado devagar): uma função é contínua em um ponto x_0 se o limite da função quando x tende a x_0 existe e é igual ao valor da função em x_0. Ou seja, para x_0=0 precisamos que
\lim_{x\to0^-} f(x)=\lim_{x\to0^+} f(x)=f(0).
Aqui f(0)=a. Portanto precisamos calcular os limites laterais em 0 e igualá‑los a a.
Antes de calcular os limites em 0, uma observação: as expressões para x>0 e x<0 são compostas por funções que são contínuas em seus respectivos intervalos (valores absolutos de funções lineares e quociente com x\neq0; e \operatorname{sen}(ax)/x é contínua em cada ponto x<0). Logo só precisamos garantir continuidade em x=0.
Passo 3
Cálculo do limite pela direita \lim_{x\to0^+}\frac{|3x-1|-|3x+1|}{x}.
Primeiro, para x>0 suficientemente pequeno (por exemplo 0<x<\tfrac{1}{3}) temos:
3x-1<0, logo |3x-1|=-(3x-1)=1-3x.
3x+1>0, logo |3x+1|=3x+1.
Substituindo nessas condições:
\frac{|3x-1|-|3x+1|}{x}=\frac{(1-3x)-(3x+1)}{x}.
Agora simplificamos o numerador:
(1-3x)-(3x+1)=1-3x-3x-1=-6x.
Portanto, para 0<x<\tfrac{1}{3} a expressão vale
\frac{-6x}{x}=-6.
Isso mostra que a expressão é igual a -6 em um intervalo à direita de zero, então
\lim_{x\to0^+}\frac{|3x-1|-|3x+1|}{x}=-6.
Passo 4
Cálculo do limite pela esquerda \lim_{x\to0^-}\frac{\operatorname{sen}(a x)}{x}.
Aqui usamos o limite trigonométrico padrão: \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1. Faço a mudança de variável u=ax. Quando x\to0 temos u=ax\to0. Escrevo
\lim_{x\to0^-} f(x)=a=-6 (pela fórmula do passo 4 com a=-6).
Assim todos os limites e o valor em 0 coincidem e a função é contínua em 0. Como já comentado, nas demais partes (x>0 e x<0) as expressões são contínuas em seus domínios, então com a=-6 a função fica contínua em todo \mathbb{R}.