Em cada um dos Problemas de 23 a 25:
(a) Resolva a equação de Volterra dada usando a transformada de Laplace.
(b) Converta a equação integral a um problema de valor inicial, como no Problema 22(b).
(c) Resolva o problema de valor inicial do item (b) e verifique que a solução é a mesma obtida no item (a).
phi(t)+integral0^1(t-xi) phi(xi) d xi=1

Passo 1

O enunciado é a equação de Volterra do tipo convolução
phi(t)+integral0^t(t-xi),phi(xi),dxi=1
e queremos (a) resolver por transformada de Laplace, (b) converter em um problema de valor inicial diferenciando, e (c) resolver esse IVP para verificar que dá a mesma solução.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Seja Phi(s)=Lphi(t). Pela linearidade e pela propriedade de convolução L(t*phi)(t)=Lt,Lphi=tfrac1s^2,Phi(s), obtemos
Phi(s)+1s^2,Phi(s)=1s

Passo 3

Fatorando Phi(s) e isolando, vem
Phi(s)l(1+1s^2r)=1s Longrightarrow Phi(s)=1/s1+1/s^2 =ss^2+1
Invertendo a transformada, reconhecemos L^-1s/(s^2+1)=cos t. Logo
phi(t)=cos t

Passo 4

Para converter em IVP, diferenciamos a equação original em t:
phi'(t)+integral0^t1cdotphi(xi),dxi=0
Defina g(t)=integral0^tphi(xi),dxi, então g'(t)=phi(t) e a equação vira
phi'(t)+g(t)=0
Diferenciando de novo:
phi''(t)+phi(t)=0
As condições iniciais vêm de t=0 na eq. original: phi(0)+0=1 phi(0)=1, e da primeira derivada em t=0: phi'(0)+g(0)=0 com g(0)=0 phi'(0)=0.

Passo 5

O IVP
phi''+phi=0, phi(0)=1,;phi'(0)=0
tem solução clássica phi(t)=cos t. Isso coincide com o que obtivemos em (a), confirmando a consistência.

Resposta

phi(t)=cos t.

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