Em cada um dos Problemas de 23 a 25:
(a) Resolva a equação de Volterra dada usando a transformada de Laplace.
(b) Converta a equação integral a um problema de valor inicial, como no Problema 22(b).
(c) Resolva o problema de valor inicial do item (b) e verifique que a solução é a mesma obtida no item (a).
(a) Resolva a equação de Volterra dada usando a transformada de Laplace.
(b) Converta a equação integral a um problema de valor inicial, como no Problema 22(b).
(c) Resolva o problema de valor inicial do item (b) e verifique que a solução é a mesma obtida no item (a).
Passo 1
O enunciado é a equação de Volterra do tipo convolução
e queremos (a) resolver por transformada de Laplace, (b) converter em um problema de valor inicial diferenciando, e (c) resolver esse IVP para verificar que dá a mesma solução.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Seja
. Pela linearidade e pela propriedade de convolução
, obtemos
Passo 3
Fatorando
e isolando, vem
Invertendo a transformada, reconhecemos
. Logo
Passo 4
Para converter em IVP, diferenciamos a equação original em
:
Defina
, então
e a equação vira
Diferenciando de novo:
As condições iniciais vêm de
na eq. original:
dá
, e da primeira derivada em
:
com
dá
.
Passo 5
O IVP
tem solução clássica
. Isso coincide com o que obtivemos em (a), confirmando a consistência.