Em cada um dos Problemas de 8 a 11, encontre a transformada de Laplace inversa da função dada usando o teorema sobre convoluções.
F(s)=1(s+1)(s^2+4)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de F(s)=1(s+1)(s^2+4) usando o teorema de convolução. Esse teorema diz que, se F(s)=G(s),H(s), então
f(t)= L^-1F(s) =(g*h)(t) =integral0^tg(tau),h(t-tau),dtau,
onde g= L^-1G e h= L^-1H.

Passo 2

Decompomos
G(s)=1s+1, H(s)=1s^2+4
As inversas são
g(t)= L^-1G(s)=e^-t, h(t)= L^-1H(s)=12sin(2t)

Passo 3

Aplicando a convolução,
f(t) =(g*h)(t) =integral0^te^-tau,12sinl(2(t-tau)r),dtau =12integral0^te^-tausinl(2(t-tau)r),dtau

Passo 4

Fazemos a substituição u=t-tau. Quando tau=0 vem u=t e quando tau=t vem u=0. Além disso dtau=-du. Assim
f(t) =12e^-tintegralu=t^u=0e^usin(2u),(-du) =12,e^-tintegral0^te^usin(2u),du

Passo 5

Chamando
J=integral0^te^usin(2u),du,
usamos a fórmula para integral e^ausin(bu),du com a=1 e b=2, obtendo
J =e^ua^2+b^2l(asin(bu)-bcos(bu)r)|0^t =e^u5l(sin(2u)-2cos(2u)r)|0^t =e^t(sin(2t)-2cos(2t))+25

Passo 6

Substituindo em f(t):
f(t) =12,e^-tcdote^t(sin(2t)-2cos(2t))+25 =110l(sin(2t)-2cos(2t)r) +15e^-t

Resposta

boxedf(t)=110sin(2t)-15cos(2t)+15e^-t

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