A soma de três números não negativos é 20.Qual é o valor máximo possível para o produto deles?(Faça o processo e justifique os passos).
Observação:os somandos não são necessariamente inteiros.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos três números reais não negativos x, y e z tais que
x + y + z = 20
e queremos maximizar o produto xyz. O conteúdo aplicado será a desigualdade AM–GM para variáveis não negativas.

Passo 2

Recordando a desigualdade de médias aritmética e geométrica (AM–GM) para três números não negativos x, y e z:
x + y + z3 >= raiz[3]xyz,
com igualdade se e somente se x = y = z. Essa desigualdade fornece um limite superior para raiz[3]xyz.

Passo 3

Aplicamos a AM–GM ao caso em que x + y + z = 20, logo
203 >= raiz[3]xyz
e, elevando os dois lados ao cubo, obtemos
(203)^3 >= xyz

Passo 4

Para que ocorra igualdade em AM–GM, precisamos de x = y = z. Substituindo na soma dada,
3x = 20 Longrightarrow x = 203
Portanto, o máximo de xyz ocorre em x = y = z = 20/3.

Resposta

O valor máximo possível de xyz é
(203)^3 = 800027

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