A soma de três números não negativos é 20.Qual é o valor máximo possível para o produto deles?(Faça o processo e justifique os passos).
Observação:os somandos não são necessariamente inteiros.
Observação:os somandos não são necessariamente inteiros.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos três números reais não negativos
,
e
tais que
e queremos maximizar o produto
. O conteúdo aplicado será a desigualdade AM–GM para variáveis não negativas.
Passo 2
Recordando a desigualdade de médias aritmética e geométrica (AM–GM) para três números não negativos
,
e
:
com igualdade se e somente se
. Essa desigualdade fornece um limite superior para
.
Passo 3
Aplicamos a AM–GM ao caso em que
, logo
e, elevando os dois lados ao cubo, obtemos
Passo 4
Para que ocorra igualdade em AM–GM, precisamos de
. Substituindo na soma dada,
Portanto, o máximo de
ocorre em
.
Resposta
O valor máximo possível de
é