Em cada um dos Problemas de 23 a 30, use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação diferencial dada.
(x-1) y^prime prime-x y^prime+y=0, x>1 ; y1(x)=e^x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial (x-1)y''-x y'+y=0 para x>1 e uma solução conhecida y1(x)=e^x. O conteúdo aqui é o método de redução de ordem para achar uma segunda solução y2(x).

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=0. Dividindo por x-1 obtemos
y''-xx-1y'+1x-1y=0
Logo
p(x)=-xx-1, q(x)=1x-1
Pela fórmula de redução de ordem, a segunda solução é
y2=y1integral e^-integral p(x),dxy1^2,dx

Passo 3

Vamos calcular o fator exponencial e o integral envolvido:
  1. -integral p(x),dx=integral xx-1,dx=integrall(1+1x-1r)dx=x+ln|x-1|
  2. Logo
e^-integral p(x)dx=e^x+ln(x-1)=(x-1)e^x
  1. O integrando fica
e^-integral py1^2= rac(x-1)e^xe^2x=(x-1)e^-x
Então precisamos de integral(x-1)e^-x,dx.

Passo 4

Para integral(x-1)e^-x,dx usamos partes:
integral x e^-xdx=-(x+1)e^-x,
integral(x-1)e^-xdx=integral x e^-xdx-integral e^-xdx=-(x+1)e^-x+e^-x=-x e^-x
Logo
y2=e^xl(-x e^-xr)=-x
Como constantes multiplicativas não importam, escolhemos y2(x)=x.

Resposta

y_2(x)=x

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