Exercício 1: Resolver os seguintes itens.
|5 x-6|=x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação $ |5x - 6| = x^{2} $. Nesse exercício, estamos lidando com equações que envolvem valor absoluto. Para resolver, vamos precisar entender como eliminar o valor absoluto e resolver equações quadráticas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor absoluto de uma expressão, $ |A| $, pode ser igual a $ B $ se $ A = B |A| A = -B $. Então, para a nossa equação $ |5x - 6| = x^{2} $, temos duas possibilidades:
  1. $ 5x - 6 = x^{2} $
  2. $ 5x - 6 = -x^{2} $

Passo 3

Vamos resolver a primeira equação: $ 5x - 6 = x^{2} $.
Primeiro, vamos colocar tudo no mesmo lado para formar uma equação quadrática:
5x - 6 = x^2
Agora, vamos fatorar:
x^2 - 5x + 6 = 0
Isso nos dá duas soluções:
(x - 2)(x - 3) = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda equação: $ 5x - 6 = -x^{2} $.
Novamente, colocamos tudo no mesmo lado:
5x - 6 = -x^2
Vamos usar a fórmula quadrática para resolver essa:
x^2 + 5x - 6 = 0
onde $ a = 1 $, $ b = 5 $, e $ c = -6 $.
Calculando o discriminante:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então:
a = 1
Isso nos dá duas soluções:
b = 5
c = -6

Passo 5

Agora, precisamos verificar quais soluções são válidas para a equação original $ |5x - 6| = x^{2} $.
Vamos testar cada solução:
  1. $ x = 2 $:
    |5x - 6| = x^2
    x = 2
    Igual, então $ x = 2 $ é válida.
  2. $ x = 3 $:
    |5(2) - 6| = |10 - 6| = 4
    (2)^2 = 4
    Igual, então $ x = 3 $ é válida.
  3. $ x = 1 $:
    x = 2
    x = 3
    Igual, então $ x = 1 $ é válida.
  4. $ x = -6 $:
    |5(3) - 6| = |15 - 6| = 9
    (3)^2 = 9
    Igual, então $ x = -6 $ é válida.

Resposta

As soluções da equação $ |5x - 6| = x^{2} $ são:
|5x - 6| = x^2

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