Verifique que a função que estende o n-ésimo termo de cada série dada abaixo atende às hipóteses do Teste da Integral e em seguida decida sobre a convergência:
sumn=2^infty 1raizn

Passo 1

Beleza, temos o exercício de verificar se a série sumn=2^infty 1raizn converge ou não usando o Teste da Integral. Vamos precisar entender como aplicar esse teste, que envolve comparar a série com uma integral correspondente. O Teste da Integral nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas comparando-as com integrais que são mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, identificamos a função que representa o termo geral da série. Aqui, a função é f(n) = 1raizn. Essa função precisa ser positiva, contínua e decrescente para aplicar o Teste da Integral.

Passo 3

Vamos verificar se f(n) = 1raizn atende às condições:
  1. Positiva: Para todo n >= 2, raizn > 0, então f(n) > 0.
  2. Contínua: A função 1raizn é contínua para n > 0.
  3. Decrescente: A derivada de f(n) em relação a n é negativa, indicando que a função é decrescente: f'(n) = -12n^-3/2 < 0 para todo n > 0
Como todas as condições são satisfeitas, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Integral, que diz que a série sumn=2^infty 1raizn converge se e somente se a integral integral2^infty 1raizx , dx converge.

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral2^infty 1raizx , dx
Sabemos que 1raizx = x^-1/2, então a antiderivada é:
integral x^-1/2 , dx = 2raizx + C
Agora, avaliamos o limite quando x tende ao infinito:
limb to infty [2raizb - 2raiz2] = infty - 2raiz2 = infty
A integral diverge para infinito.

Resposta

Como a integral integral2^infty 1raizx , dx diverge, pelo Teste da Integral, a série sumn=2^infty 1raizn também diverge.

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