Verifique que a função que estende o n-ésimo termo de cada série dada abaixo atende às hipóteses do Teste da Integral e em seguida decida sobre a convergência:
Passo 1
Beleza, temos o exercício de verificar se a série
converge ou não usando o Teste da Integral. Vamos precisar entender como aplicar esse teste, que envolve comparar a série com uma integral correspondente. O Teste da Integral nos ajuda a determinar a convergência de séries infinitas comparando-as com integrais que são mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, identificamos a função que representa o termo geral da série. Aqui, a função é
. Essa função precisa ser positiva, contínua e decrescente para aplicar o Teste da Integral.
Passo 3
Vamos verificar se
atende às condições:
- Positiva: Para todo
, , então . - Contínua: A função
é contínua para . - Decrescente: A derivada de
em relação a é negativa, indicando que a função é decrescente:
Como todas as condições são satisfeitas, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teste da Integral, que diz que a série
converge se e somente se a integral
converge.
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Sabemos que
, então a antiderivada é:
Agora, avaliamos o limite quando
tende ao infinito:
A integral diverge para infinito.
Resposta
Como a integral
diverge, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.