Em cada um dos Problemas 31 a 36, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução.
y^{\prime \prime}+y=x, y(0)=0, y(\pi)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de contorno
y''+y = x,\qquad y(0)=0,\qquad y(\pi)=0.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Termo não-homogêneo (forçamento) é \,x, um polinômio de grau 1.
  • As condições de contorno são do tipo Dirichlet em x=0 e x=\pi.
    A tarefa é encontrar uma função y(x) que satisfaça a equação e as duas condições de contorno, ou então mostrar que nenhuma função atende a tudo isso.

Passo 2

Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada:
y''+y=0.
Método (explicação): para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica r^2+1=0. Resolvendo:
r^2+1=0 \implies r=\pm i.
Como as raízes são complexas conjugadas \pm i, a solução geral da homogênea é combinação linear de \cos x e \sin x:
y_h(x)=A\cos x + B\sin x,
onde A e B são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições de contorno.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p(x) da equação completa
y''+y = x.
Método (explicação didática): como o lado direito é um polinômio de grau 1, tentamos uma solução particular também polinomial de grau 1:
y_p(x)=ax+b,
com a,b constantes a determinar. Calculamos y_p''(x) e substituímos na equação:
y_p''(x)=0,\qquad y_p''+y_p = 0 + (ax+b)=ax+b.
Queremos ax+b = x para todo x. Igualando coeficientes de potências de x:
  • coeficiente de x: a=1,
  • termo constante: b=0.
    Portanto
y_p(x)=x.
(Observação: essa escolha funcionou porque \cos x e \sin x não são polinômios, então não houve ressonância.)

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=A\cos x + B\sin x + x.
As constantes A,B serão fixadas pelas condições de contorno.

Passo 5

Aplicamos a condição de contorno em x=0:
y(0)=A\cos 0 + B\sin 0 + 0 = A\cdot 1 + B\cdot 0 = A.
Como y(0)=0, obtemos
A=0.

Passo 6

Agora aplicamos a condição de contorno em x=\pi:
y(\pi)=A\cos\pi + B\sin\pi + \pi.
Usando A=0 obtém-se
y(\pi)=0\cdot\cos\pi + B\cdot 0 + \pi = \pi.
Mas a condição pede y(\pi)=0. Como \pi\neq 0, isto é uma contradição: não existe valor de B que anule \pi. Conclusão direta: não há constantes A,B tais que y(0)=0 e y(\pi)=0 ao mesmo tempo para a solução geral encontrada. Portanto não existe solução que satisfaça o problema de contorno.

Passo 7

Interpretação alternativa (importante para provas): a falha é prevista pela teoria (alternativa de Fredholm para problemas lineares). O espaço de soluções da equação homogênea com as mesmas condições de contorno contém uma função não-trivial: \sin x satisfaz y''+y=0 e \sin 0=\sin\pi=0. Quando o espaço homogêneo não é trivial, a existência de solução da não-homogênea exige uma condição de ortogonalidade: o forçamento f(x)=x deve ser ortogonal a todo elemento do núcleo (aqui a \sin x) no produto interno \int_0^{\pi} f(x)\,\varphi(x)\,dx. Vamos checar:
\int_0^{\pi} x\sin x\,dx.
Cálculo por partes (explicando): tome u=x e dv=\sin x\,dx. Então du=dx e v=-\cos x. Assim
\int_0^{\pi} x\sin x\,dx = \big[-x\cos x\big]_0^{\pi} + \int_0^{\pi}\cos x\,dx.
Calculando os termos:
\big[-x\cos x\big]_0^{\pi} = -\pi\cos\pi - (0\cdot\cos 0) = -\pi(-1)=\pi,
e
\int_0^{\pi}\cos x\,dx = \big[\sin x\big]_0^{\pi} = 0-0=0.
Logo
\int_0^{\pi} x\sin x\,dx = \pi \neq 0.
Como a integral não é zero, a condição de ortogonalidade falha e, por isso, não existe solução do problema de contorno — concordando com o resultado obtido nos passos anteriores.

Resposta

Não existe solução.

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