Em cada um dos Problemas 31 a 36, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de contorno
Informações dadas:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Termo não-homogêneo (forçamento) é
, um polinômio de grau . - As condições de contorno são do tipo Dirichlet em
e .
A tarefa é encontrar uma funçãoque satisfaça a equação e as duas condições de contorno, ou então mostrar que nenhuma função atende a tudo isso.
Passo 2
Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada:
Método (explicação): para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
. Resolvendo:
Como as raízes são complexas conjugadas
, a solução geral da homogênea é combinação linear de
e
:
onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições de contorno.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Método (explicação didática): como o lado direito é um polinômio de grau
, tentamos uma solução particular também polinomial de grau
:
com
constantes a determinar. Calculamos
e substituímos na equação:
Queremos
para todo
. Igualando coeficientes de potências de
:
- coeficiente de
: , - termo constante:
.
Portanto
(Observação: essa escolha funcionou porque
e
não são polinômios, então não houve ressonância.)
Passo 4
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
As constantes
serão fixadas pelas condições de contorno.
Passo 5
Aplicamos a condição de contorno em
:
Como
, obtemos
Passo 6
Agora aplicamos a condição de contorno em
:
Usando
obtém-se
Mas a condição pede
. Como
, isto é uma contradição: não existe valor de
que anule
. Conclusão direta: não há constantes
tais que
e
ao mesmo tempo para a solução geral encontrada. Portanto não existe solução que satisfaça o problema de contorno.
Passo 7
Interpretação alternativa (importante para provas): a falha é prevista pela teoria (alternativa de Fredholm para problemas lineares). O espaço de soluções da equação homogênea com as mesmas condições de contorno contém uma função não-trivial:
satisfaz
e
. Quando o espaço homogêneo não é trivial, a existência de solução da não-homogênea exige uma condição de ortogonalidade: o forçamento
deve ser ortogonal a todo elemento do núcleo (aqui a
) no produto interno
. Vamos checar:
Cálculo por partes (explicando): tome
e
. Então
e
. Assim
Calculando os termos:
e
Logo
Como a integral não é zero, a condição de ortogonalidade falha e, por isso, não existe solução do problema de contorno — concordando com o resultado obtido nos passos anteriores.
Resposta
Não existe solução.