Em cada um dos Problemas 31 a 36, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução.
y^{\prime \prime}+y=0, y(0)=0, y^{\prime}(\pi)=1

Passo 1

O problema pede encontrar uma função y(x) que satisfaça a equação diferencial e as condições de contorno:
y''+y=0,\qquad y(0)=0,\qquad y'(\pi)=1.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é de segunda ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes.
  • Temos duas condições: uma em x=0 e outra em x=\pi.
  • A solução geral da equação diferencial envolverá duas constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições de contorno.

Passo 2

Vamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Começamos pela equação característica associada:
r^2+1=0.
Resolvendo,
r=\pm i.
Quando as raízes são \pm i, a solução geral real da equação homogênea é combinação linear de cosseno e seno. Então a forma geral da solução é
y(x)=A\cos x + B\sin x,
onde A e B são constantes reais a determinar. (Aqui A e B representam amplitudes das componentes \cos x e \sin x.)

Passo 3

Agora aplicamos a primeira condição de contorno y(0)=0. Avaliando y em x=0:
y(0)=A\cos 0 + B\sin 0 = A\cdot 1 + B\cdot 0 = A.
Da condição y(0)=0 segue que
A=0.

Passo 4

Com A=0, a solução reduz para
y(x)=B\sin x.
Precisamos agora usar a segunda condição y'(\pi)=1. Primeiro calculamos a derivada de y:
y'(x)=B\cos x,
pois a derivada de \sin x é \cos x.

Passo 5

Aplique y'(\pi)=1:
y'(\pi)=B\cos\pi = B\cdot(-1)=-B.
Da condição y'(\pi)=1 obtemos
-B=1 \quad\Longrightarrow\quad B=-1.

Passo 6

Substituindo A=0 e B=-1 na expressão de y, obtemos a solução particular que satisfaz a equação e ambas as condições:
y(x)=-\sin x.

Passo 7

Verificação rápida:
  • Verificar a equação: y''(x) = -(-\sin x)=\sin x? Na verdade calculamos corretamente: y(x)=-\sin x então y'(x)=-\cos x e y''(x)=\sin x. Logo
y''+y = \sin x + (-\sin x)=0,
ok.
  • Verificar condições: y(0)=-\sin 0=0 e y'(\pi)=-\cos\pi = -(-1)=1, ok.
    Também é única: o sistema linear para A,B deu A=0, B=-1 (determinante não nulo), portanto não há outra solução.

Resposta

y(x)=-\sin x

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