Em cada um dos Problemas 31 a 36, resolva o problema de valores de contorno dado ou mostre que não tem solução.
Passo 1
O problema pede encontrar uma função
que satisfaça a equação diferencial e as condições de contorno:
Informações dadas:
- A equação diferencial é de segunda ordem, linear e homogênea com coeficientes constantes.
- Temos duas condições: uma em
e outra em . - A solução geral da equação diferencial envolverá duas constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições de contorno.
Passo 2
Vamos encontrar a solução geral da equação diferencial. Começamos pela equação característica associada:
Resolvendo,
Quando as raízes são
, a solução geral real da equação homogênea é combinação linear de cosseno e seno. Então a forma geral da solução é
onde
e
são constantes reais a determinar. (Aqui
e
representam amplitudes das componentes
e
.)
Passo 3
Agora aplicamos a primeira condição de contorno
. Avaliando
em
:
Da condição
segue que
Passo 4
Com
, a solução reduz para
Precisamos agora usar a segunda condição
. Primeiro calculamos a derivada de
:
pois a derivada de
é
.
Passo 5
Aplique
:
Da condição
obtemos
Passo 6
Substituindo
e
na expressão de
, obtemos a solução particular que satisfaz a equação e ambas as condições:
Passo 7
Verificação rápida:
- Verificar a equação:
? Na verdade calculamos corretamente: então e . Logo
ok.
- Verificar condições:
e , ok.
Também é única: o sistema linear paradeu , (determinante não nulo), portanto não há outra solução.