Em cada um dos Problemas de 31 a 38:
(a) Mostre que a equação dada é homogênea.
(b) Resolva a equação diferencial.
(c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
\frac{d y}{d x}=-\frac{4 x+3 y}{2 x+y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial a seguir e pede três coisas:
  • (a) Mostrar que a equação é homogênea.
  • (b) Resolver a equação diferencial.
  • (c) Desenhar (descrever) o campo de direções e algumas curvas integrais e responder se elas são simétricas em relação à origem.
A equação dada é
\frac{dy}{dx} = -\frac{4x+3y}{2x+y}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A razão entre polinômios lineares em x e y aparece no lado direito: numerador 4x+3y e denominador 2x+y.
  • Não há termos independentes (constantes) fora dessas combinações lineares.
  • É pedido também a análise de simetrias das curvas integrais em relação à origem.

Passo 2

O que significa “a equação é homogênea” (explicação didática)?
  • Para uma equação da forma \dfrac{dy}{dx}=f(x,y), chamamos f de homogêneo de grau zero se, para todo t\neq0, f(tx,ty)=f(x,y).
  • Uma maneira prática de verificar isso é observar que, se f(x,y) é razão de polinômios homogêneos do mesmo grau (por exemplo, ambos de grau 1), então f tem grau zero e é função somente da razão v=\dfrac{y}{x}.
Aplicando isso ao nosso caso:
f(x,y) = -\frac{4x+3y}{2x+y}.
Substituo (x,y)\mapsto(tx,ty) e verifico:
f(tx,ty)=-\frac{4(tx)+3(ty)}{2(tx)+ (ty)} = -\frac{t(4x+3y)}{t(2x+y)} = -\frac{4x+3y}{2x+y}=f(x,y).
Portanto f(tx,ty)=f(x,y) para todo t\neq0, logo f é homogêneo de grau zero e a equação é homogênea. (Resposta do item (a): é homogênea.)

Passo 3

Escolha do método para resolver (explicação didática):
  • Para uma equação homogênea de primeira ordem é padrão usar a substituição \displaystyle v=\frac{y}{x} (ou y=vx). Isso transforma a equação em uma equação separável em v e x.
  • Justificativa: v captura a razão y/x e, porque f depende apenas dessa razão, ao trocar de variáveis obtemos variáveis separáveis.
Faço a substituição y=vx. Então
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituo na equação original:
v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{4x+3(vx)}{2x+(v x)}.
Simplifico o lado direito dividindo numerador e denominador por x (assumindo x\neq0 — fora disso tratamos separadamente):
v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{4+3v}{2+v}.

Passo 4

Passo algébrico para obter equação separável:
Subtraio v dos dois lados:
x\frac{dv}{dx} = -\frac{4+3v}{2+v} - v.
Coloco em denominador comum (2+v):
-\frac{4+3v}{2+v} - v = -\frac{4+3v}{2+v} - \frac{v(2+v)}{2+v} = -\frac{4+3v + 2v + v^2}{2+v}.
Agrupo termos no numerador:
4+3v + 2v + v^2 = v^2 +5v +4 = (v+1)(v+4).
Portanto
x\frac{dv}{dx} = -\frac{v^2+5v+4}{2+v} = -\frac{(v+1)(v+4)}{2+v}.
Isolo \dfrac{dv}{dx}:
\frac{dv}{dx} = -\frac{(v+1)(v+4)}{x(2+v)}.
Agora separo as variáveis v e x:
\frac{2+v}{(v+1)(v+4)}\,dv = -\frac{dx}{x}.

Passo 5

Integração (explicação didática passo a passo):
  • Vou integrar os dois lados. Para integrar o lado em v\) uso frações parciais. Preciso escrever \[\frac{2+v}{(v+1)(v+4)} = \frac{A}{v+1} + \frac{B}{v+4}.
Multiplicando por (v+1)(v+4):
2+v = A(v+4) + B(v+1) = (A+B)v + (4A+B).
Comparando coeficientes:
\begin{cases} 1 = A + B,\\[4pt] 2 = 4A + B. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda: 1 = 3A \Rightarrow A=\dfrac{1}{3}\]. Então \(B=1-A=\dfrac{2}{3}.
Assim
\frac{2+v}{(v+1)(v+4)} = \frac{1/3}{v+1} + \frac{2/3}{v+4}.
Integro ambos os lados:
\int \left(\frac{1/3}{v+1} + \frac{2/3}{v+4}\right) dv = \int -\frac{dx}{x}.
As integrais são logaritmos:
\frac{1}{3}\ln|v+1| + \frac{2}{3}\ln|v+4| = -\ln|x| + C,
onde C é constante de integração.
Multiplico por 3 para simplificar:
\ln|v+1| + 2\ln|v+4| = -3\ln|x| + C_1.
Combino os logs do lado esquerdo:
\ln\big(|v+1|(v+4)^2\big) = \ln\big(|x|^{-3}\big) + C_1.
Exponentiando (e absorvendo constantes) obtemos a forma implícita:
(v+1)(v+4)^2 x^{3} = C,
onde C é uma constante arbitrária (real, podendo ser positiva, negativa ou zero).]

Passo 6

Volto à variável original y (substituição inversa) e simplifico a solução:
  • Lembro que v=\dfrac{y}{x}. Então v+1 = \frac{y}{x}+1 = \frac{y+x}{x},\qquad v+4=\frac{y}{x}+4=\frac{y+4x}{x}.
  • Substituo em (v+1)(v+4)^2 x^3 = C: \left(\frac{y+x}{x}\right)\left(\frac{y+4x}{x}\right)^2 x^3 = C.
  • Simplificando as potências de x: (y+x)(y+4x)^2 = C.
Essa é a solução geral implícita da equação diferencial. Observações importantes (didáticas):
  • Se C=0 obtemos (y+x)(y+4x)^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad y=-x \quad\text{ou}\quad y=-4x.Estas são soluções rectas do tipo y=mx (retas que passam pela origem) — são as chamadas soluções singulares (neste caso integradas na família com C=0; note que y=-4x aparece com multiplicidade 2).
  • A equação não define \dfrac{dy}{dx} quando 2x+y=0 (isto é, na linha y=-2x), porque o denominador da razão original zera ali; em pontos sobre y=-2x a inclinação dada pela equação é indefinida (tangentes verticais). Essa reta não é uma solução geral da ODE; ela marca uma singularidade do campo de direções.
  • Portanto a solução geral implícita é (y+x)(y+4x)^2 = C,com C constante real. As retas y=-x e y=-4x aparecem quando C=0; a reta y=-2x é uma singularidade do campo de direções (denominador nulo).

Passo 7

Campo de direções, curvas integrais e simetria (explicação e instruções para esboço):
  • Para esboçar o campo de direções considere a inclinação \frac{dy}{dx} = -\frac{4x+3y}{2x+y}.Algumas informações úteis para desenhar:
    • Horizontes (inclinação zero): numerador zero \Rightarrow 4x+3y=0, isto é, a reta \displaystyle y=-\frac{4}{3}x. Nessa reta os vetores são horizontais ( dy/dx=0).
    • Tangentes verticais (inclinação infinita): denominador zero \Rightarrow 2x+y=0, isto é, a reta \displaystyle y=-2x. Nessa reta a inclinação dada pela fórmula é indefinida (vetores verticais).
    • Algumas inclinações específicas: por exemplo, para inclinação 1 resolve-se -\dfrac{4+3v}{2+v}=1 que dá v=-\tfrac{3}{2}, isto é, linhas com y=-\tfrac{3}{2}x são isoclinas de valor 1. Para inclinação -1 obtém-se v=-\tfrac{1}{2} e assim por diante. Essas isoclinas ajudam a posicionar pequenas setas no campo.
  • Comportamento das curvas integrais (da solução implícita): (y+x)(y+4x)^2 = C.
    • Para |x| grande, dividindo por x^3 obtemos (v+1)(v+4)^2 = \frac{C}{x^3}\to 0,portanto v=\dfrac{y}{x} tende a -1 ou a -4. Ou seja, as curvas integrais tendem a aproximar-se das retas y=-x ou y=-4x para |x|\to\infty; essas retas atuam como assíntotas direcionais.
    • A família de curvas é dada por níveis diferentes de C. Para C>0 e C<0 obtêm-se curvas em regiões diferentes do plano; para C=0 tem-se exatamente as retas y=-x e y=-4x.
  • Simetria em relação à origem (resposta direta e justificativa):
    • Substituindo (x,y)\mapsto(-x,-y) na equação da família: ( -y - x)(-y -4x)^2 = -(y+x)(y+4x)^2.Logo o valor da constante troca de sinal. Isso significa que a reflexão de uma curva integral associada à constante C é a curva correspondente à constante -C.
    • Conclusão: a família de curvas integrais é simétrica em relação à origem (cada curva com constante C é levada pela reflexão ao redor da origem na curva com constante -C). Entretanto, uma curva individual só é simétrica em relação à origem se ela for igual à sua imagem, o que ocorre apenas quando a constante for C=0. Assim as únicas curvas integrais invariantes pela rotação de 180^\circ (simetria em relação à origem) são as retas y=-x e y=-4x. As demais curvas não são simétricas em si mesmas, mas vêm em pares simétricas com sinais opostos de C.

Resposta

(a) A equação é homogênea, pois \displaystyle f(tx,ty)=-\dfrac{4(tx)+3(ty)}{2(tx)+ty}=f(x,y).
(b) Solução geral (implícita): \displaystyle (y+x)(y+4x)^2 = C, com C constante real. As soluções retas y=-x e y=-4x correspondem a C=0. A reta y=-2x é uma singularidade do campo de direções (denominador nulo).
(c) O campo de direções tem horizontais em \displaystyle y=-\tfrac{4}{3}x e verticais em \displaystyle y=-2x. As curvas integrais aproximam-se de y=-x ou y=-4x para |x| grande (essas retas são assíntotas direcionais). A família de curvas é simétrica em relação à origem (curva com constante C corresponde, por reflexão, à curva com constante -C); uma curva individual é simétrica em relação à origem apenas se C=0 (ou seja, apenas as retas y=-x e y=-4x são invariantes).

Exercícios relacionados