Em cada um dos Problemas de 31 a 38:
(a) Mostre que a equação dada é homogênea.
(b) Resolva a equação diferencial.
(c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
(a) Mostre que a equação dada é homogênea.
(b) Resolva a equação diferencial.
(c) Desenhe um campo de direções e algumas curvas integrais. Elas são simétricas em relação à origem?
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial a seguir e pede três coisas:
- (a) Mostrar que a equação é homogênea.
- (b) Resolver a equação diferencial.
- (c) Desenhar (descrever) o campo de direções e algumas curvas integrais e responder se elas são simétricas em relação à origem.
A equação dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A razão entre polinômios lineares em
e aparece no lado direito: numerador e denominador . - Não há termos independentes (constantes) fora dessas combinações lineares.
- É pedido também a análise de simetrias das curvas integrais em relação à origem.
Passo 2
O que significa “a equação é homogênea” (explicação didática)?
- Para uma equação da forma
, chamamos de homogêneo de grau zero se, para todo , - Uma maneira prática de verificar isso é observar que, se
é razão de polinômios homogêneos do mesmo grau (por exemplo, ambos de grau 1), então tem grau zero e é função somente da razão .
Aplicando isso ao nosso caso:
Substituo
e verifico:
Portanto
para todo
, logo
é homogêneo de grau zero e a equação é homogênea. (Resposta do item (a): é homogênea.)
Passo 3
Escolha do método para resolver (explicação didática):
- Para uma equação homogênea de primeira ordem é padrão usar a substituição
(ou ). Isso transforma a equação em uma equação separável em e . - Justificativa:
captura a razão e, porque depende apenas dessa razão, ao trocar de variáveis obtemos variáveis separáveis.
Faço a substituição
. Então
Substituo na equação original:
Simplifico o lado direito dividindo numerador e denominador por
(assumindo
— fora disso tratamos separadamente):
Passo 4
Passo algébrico para obter equação separável:
Subtraio dos dois lados:
Subtraio
Coloco em denominador comum
:
Agrupo termos no numerador:
Portanto
Isolo
:
Agora separo as variáveis
e
:
Passo 5
Integração (explicação didática passo a passo):
- Vou integrar os dois lados. Para integrar o lado em
Multiplicando por
:
Comparando coeficientes:
Subtraindo a primeira da segunda:
.
Assim
Integro ambos os lados:
As integrais são logaritmos:
onde
é constante de integração.
Multiplico por
para simplificar:
Combino os logs do lado esquerdo:
Exponentiando (e absorvendo constantes) obtemos a forma implícita:
onde
é uma constante arbitrária (real, podendo ser positiva, negativa ou zero).]
Passo 6
Volto à variável original
(substituição inversa) e simplifico a solução:
- Lembro que
. Então - Substituo em
: - Simplificando as potências de
:
Essa é a solução geral implícita da equação diferencial. Observações importantes (didáticas):
- Se
obtemos Estas são soluções rectas do tipo (retas que passam pela origem) — são as chamadas soluções singulares (neste caso integradas na família com ; note que aparece com multiplicidade 2). - A equação não define
quando (isto é, na linha ), porque o denominador da razão original zera ali; em pontos sobre a inclinação dada pela equação é indefinida (tangentes verticais). Essa reta não é uma solução geral da ODE; ela marca uma singularidade do campo de direções. - Portanto a solução geral implícita é
com constante real. As retas e aparecem quando ; a reta é uma singularidade do campo de direções (denominador nulo).
Passo 7
Campo de direções, curvas integrais e simetria (explicação e instruções para esboço):
- Para esboçar o campo de direções considere a inclinação
Algumas informações úteis para desenhar: - Horizontes (inclinação zero): numerador zero
, isto é, a reta . Nessa reta os vetores são horizontais ( ). - Tangentes verticais (inclinação infinita): denominador zero
, isto é, a reta . Nessa reta a inclinação dada pela fórmula é indefinida (vetores verticais). - Algumas inclinações específicas: por exemplo, para inclinação
resolve-se que dá , isto é, linhas com são isoclinas de valor . Para inclinação obtém-se e assim por diante. Essas isoclinas ajudam a posicionar pequenas setas no campo.
- Horizontes (inclinação zero): numerador zero
- Comportamento das curvas integrais (da solução implícita):
- Para
grande, dividindo por obtemos portanto tende a ou a . Ou seja, as curvas integrais tendem a aproximar-se das retas ou para ; essas retas atuam como assíntotas direcionais. - A família de curvas é dada por níveis diferentes de
. Para e obtêm-se curvas em regiões diferentes do plano; para tem-se exatamente as retas e .
- Para
- Simetria em relação à origem (resposta direta e justificativa):
- Substituindo
na equação da família: Logo o valor da constante troca de sinal. Isso significa que a reflexão de uma curva integral associada à constante é a curva correspondente à constante . - Conclusão: a família de curvas integrais é simétrica em relação à origem (cada curva com constante
é levada pela reflexão ao redor da origem na curva com constante ). Entretanto, uma curva individual só é simétrica em relação à origem se ela for igual à sua imagem, o que ocorre apenas quando a constante for . Assim as únicas curvas integrais invariantes pela rotação de (simetria em relação à origem) são as retas e . As demais curvas não são simétricas em si mesmas, mas vêm em pares simétricas com sinais opostos de .
- Substituindo
Resposta
(a) A equação é homogênea, pois
.
(b) Solução geral (implícita): , com
constante real. As soluções retas
e
correspondem a
. A reta
é uma singularidade do campo de direções (denominador nulo).
(c) O campo de direções tem horizontais em e verticais em
. As curvas integrais aproximam-se de
ou
para
grande (essas retas são assíntotas direcionais). A família de curvas é simétrica em relação à origem (curva com constante
corresponde, por reflexão, à curva com constante
); uma curva individual é simétrica em relação à origem apenas se
(ou seja, apenas as retas
e
são invariantes).
(b) Solução geral (implícita):
(c) O campo de direções tem horizontais em