f(x, y)=2 x^{2}+y^{3}, no ponto (1, \sqrt{2}) da curva de nível 2 x^{2}+y^{2}=4. Determine a equação da reta perpendicular.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dá a função f(x,y)=2x^{2}+y^{3}.
  • Diz que o ponto \bigl(1,\sqrt{2}\bigr) pertence à curva de nível definida por 2x^{2}+y^{2}=4.
  • Pede a equação da reta perpendicular — isto é, a reta perpendicular à curva de nível 2x^{2}+y^{2}=4 no ponto \bigl(1,\sqrt{2}\bigr).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Ponto dado: \bigl(1,\sqrt{2}\bigr).
  • Curva de nível (função construtora): g(x,y)=2x^{2}+y^{2}=4 (definida implicitamente).

Passo 2

Ideia-chave (explicada de forma didática): para uma curva de nível dada por g(x,y)= constante, o vetor gradiente \nabla g em um ponto é perpendicular (normal) à curva naquele ponto.
  • O gradiente \nabla g(x,y) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de g:
\displaystyle \nabla g(x,y)=\left(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y}\right).
  • Intuição simples: \frac{\partial g}{\partial x} mede como g muda ao mover-se horizontalmente; \frac{\partial g}{\partial y} mede como g muda ao mover-se verticalmente. O vetor que combina essas mudanças aponta na direção em que g aumenta mais rapidamente — e, por definição geométrica, essa direção é ortogonal à curva onde g é constante.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: identifique g(x,y) e calcule o gradiente.
  • Tome g(x,y)=2x^{2}+y^{2}.
  • Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial g}{\partial x}=4x,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=2y.
  • Logo
\displaystyle \nabla g(x,y)=(4x,\,2y).
  • Avaliando no ponto \bigl(1,\sqrt{2}\bigr):
\displaystyle \nabla g\bigl(1,\sqrt{2}\bigr)=(4\cdot 1,\,2\sqrt{2})=(4,\,2\sqrt{2}).
Este vetor \bigl(4,2\sqrt{2}\bigr) é normal à curva de nível em \bigl(1,\sqrt{2}\bigr), portanto dá a direção da reta perpendicular procurada.

Passo 4

Escrevendo a reta perpendicular: formas paramétrica e cartesiana.
  • Forma paramétrica (usando parâmetro t e vetor direção (4,2\sqrt{2})):
x=1+4t,\qquad y=\sqrt{2}+2\sqrt{2}\,t,\qquad t\in\mathbb{R}.
  • Para obter a forma cartesiana (equação com declive), calcule o declive m a partir do vetor direção:
m=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto a equação ponto-declive é
y-\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\,(x-1).

Passo 5

Verificação alternativa (útil para a prova): obter a inclinação da tangente por diferenciação implícita e confirmar a perpendicularidade.
  • Diferenciando implicitamente 2x^{2}+y^{2}=4 em relação a x:
4x+2y\frac{dy}{dx}=0\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{4x}{2y}=-\frac{2x}{y}.
  • No ponto \bigl(1,\sqrt{2}\bigr):
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,\sqrt{2})}=-\frac{2\cdot 1}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}.
Este é o declive da reta tangente. A reta perpendicular tem declive igual ao oposto do recíproco:
m_{\perp}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},
que coincide com o declive que encontramos pelo gradiente. Boa checagem!

Passo 6

Colocar a equação em forma linear padrão (sem frações/radicais isolados), se preferir:
Partindo de y-\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(x-1), multiplicando por 2:
2y-2\sqrt{2}=\sqrt{2}\,x-\sqrt{2}.
Rearranjando:
\sqrt{2}\,x-2y+\sqrt{2}=0.
Ou, factorizando \sqrt{2}:
\sqrt{2}\,(x+1)-2y=0.

Resposta

\text{Reta (ponto-declive): } y-\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,(x-1)
\text{Forma paramétrica: } x=1+4t,\quad y=\sqrt{2}+2\sqrt{2}\,t,\\ t\in\mathbb{R}é

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