f(x, y)=2 x^{2}+y^{3}, no ponto (1, \sqrt{2}) da curva de nível 2 x^{2}+y^{2}=4. Determine a equação da reta perpendicular.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
Dá a função f(x,y)=2x^{2}+y^{3}.
Diz que o ponto \bigl(1,\sqrt{2}\bigr) pertence à curva de nível definida por 2x^{2}+y^{2}=4.
Pede a equação da reta perpendicular — isto é, a reta perpendicular à curva de nível 2x^{2}+y^{2}=4 no ponto \bigl(1,\sqrt{2}\bigr).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Ponto dado: \bigl(1,\sqrt{2}\bigr).
Curva de nível (função construtora): g(x,y)=2x^{2}+y^{2}=4 (definida implicitamente).
Passo 2
Ideia-chave (explicada de forma didática): para uma curva de nível dada por g(x,y)= constante, o vetor gradiente \nabla g em um ponto é perpendicular (normal) à curva naquele ponto.
O gradiente \nabla g(x,y) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de g:
Intuição simples: \frac{\partial g}{\partial x} mede como g muda ao mover-se horizontalmente; \frac{\partial g}{\partial y} mede como g muda ao mover-se verticalmente. O vetor que combina essas mudanças aponta na direção em que g aumenta mais rapidamente — e, por definição geométrica, essa direção é ortogonal à curva onde g é constante.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: identifique g(x,y) e calcule o gradiente.