Verifique se o limite existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{2}}{x^{2} y^{2}+(x-y)^{2}}

Passo 1

O problema pede para verificar se existe o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}y^{2}+(x-y)^{2}}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{x^{2}y^{2}}{x^{2}y^{2}+(x-y)^{2}}.
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
    A pergunta é: esse limite existe (tem um único valor real)? Se existir, qual é esse valor; se não, justificar por quê.

Passo 2

Breve lembrete (ferramenta que vou usar): para limites em duas variáveis, uma estratégia comum é avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos que tendem ao ponto. Se eu encontrar dois caminhos que dão limites distintos, então o limite total NÃO existe. Isso vem da definição: o limite existe se e somente se todas as sequências (ou todos os caminhos) que tendem ao ponto produzem o mesmo valor limite. Vou usar isso para testar a existência.

Passo 3

Avaliar o limite ao longo do caminho y=0. Substituo y=0 na expressão:
\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}y^{2}+(x-y)^{2}}\Bigg|_{y=0} = \frac{x^{2}\cdot 0^{2}}{x^{2}\cdot 0^{2}+(x-0)^{2}} = \frac{0}{x^{2}}=0\quad\text{para }x\neq0.
Portanto, ao aproximar (x,y) de (0,0) pelo eixo y=0, o valor da função tende a
0.

Passo 4

Avaliar o limite ao longo do caminho y=x. Substituo y=x na expressão:
\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}y^{2}+(x-y)^{2}}\Bigg|_{y=x} = \frac{x^{2}x^{2}}{x^{2}x^{2}+(x-x)^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{4}+0} = 1\quad\text{para }x\neq0.
Logo, ao aproximar (x,y) de (0,0) pelo caminho y=x, o valor da função tende a
1.

Passo 5

Interpretação dos resultados dos passos anteriores: encontrei dois caminhos que chegam ao mesmo ponto (0,0) e produzem limites diferentes — pelo eixo y=0 o limite é 0, e pelo caminho y=x o limite é 1. Pela definição de limite em \mathbb{R}^{2}, isso é suficiente para concluir que o limite total não existe.

Passo 6

Para reforçar a intuição, faço um cálculo mais geral ao longo de y=kx com k constante real. Substituindo y=kx,
\frac{x^{2}y^{2}}{x^{2}y^{2}+(x-y)^{2}} = \frac{x^{2}(kx)^{2}}{x^{2}(kx)^{2}+(x-kx)^{2}} = \frac{k^{2}x^{4}}{k^{2}x^{4}+(1-k)^{2}x^{2}} = \frac{k^{2}x^{2}}{k^{2}x^{2}+(1-k)^{2}}.
Ao deixar x\to0 com k fixo, obtemos
  • se k=1, a expressão vale identicamente 1 (já visto);
  • se k\neq1, o numerador tem fator x^{2} enquanto o denominador tende para (1-k)^{2}>0, então a expressão tende para 0.
    Isso mostra que a maioria das retas y=kx dá limite 0, mas a reta y=x dá limite 1: portanto há caminhos com limites distintos.

Passo 7

Conclusão: como existem caminhos (por exemplo y=0 e y=x) que tendem a (0,0) e produzem limites diferentes ( 0 e 1), o limite pedido não existe.

Resposta

O limite não existe.

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