A função considerada é f(x,y)=\dfrac{x^{2}y^{2}}{x^{2}y^{2}+(x-y)^{2}}.
O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0).
A pergunta é: esse limite existe (tem um único valor real)? Se existir, qual é esse valor; se não, justificar por quê.
Passo 2
Breve lembrete (ferramenta que vou usar): para limites em duas variáveis, uma estratégia comum é avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos que tendem ao ponto. Se eu encontrar dois caminhos que dão limites distintos, então o limite total NÃO existe. Isso vem da definição: o limite existe se e somente se todas as sequências (ou todos os caminhos) que tendem ao ponto produzem o mesmo valor limite. Vou usar isso para testar a existência.
Passo 3
Avaliar o limite ao longo do caminho y=0. Substituo y=0 na expressão:
Logo, ao aproximar (x,y) de (0,0) pelo caminho y=x, o valor da função tende a
1.
Passo 5
Interpretação dos resultados dos passos anteriores: encontrei dois caminhos que chegam ao mesmo ponto (0,0) e produzem limites diferentes — pelo eixo y=0 o limite é 0, e pelo caminho y=x o limite é 1. Pela definição de limite em \mathbb{R}^{2}, isso é suficiente para concluir que o limite total não existe.
Passo 6
Para reforçar a intuição, faço um cálculo mais geral ao longo de y=kx com k constante real. Substituindo y=kx,
se k=1, a expressão vale identicamente 1 (já visto);
se k\neq1, o numerador tem fator x^{2} enquanto o denominador tende para (1-k)^{2}>0, então a expressão tende para 0.
Isso mostra que a maioria das retas y=kx dá limite 0, mas a reta y=x dá limite 1: portanto há caminhos com limites distintos.
Passo 7
Conclusão: como existem caminhos (por exemplo y=0 e y=x) que tendem a (0,0) e produzem limites diferentes (0 e 1), o limite pedido não existe.