Em cada um dos Problemas 1 a 32, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine a solução que a satisfaz.
d yd x=x^3-2x

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dydx = x^3 - 2x. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, uma ferramenta fundamental em matemática que nos permite encontrar funções a partir de suas taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o lado direito da equação. Dividindo cada termo no numerador por x, temos:
x^3x - 2x = x^2 - 2x

Passo 3

Agora, nossa equação fica:
dydx = x^2 - 2x
Para encontrar y, vamos integrar ambos os lados em relação a x.

Passo 4

Integrando o lado esquerdo:
integral dydx , dx = integral dy = y

Passo 5

Integrando o lado direito:
integral ( x^2 - 2x ) dx = integral x^2 dx - 2 integral 1x dx
Calculando cada integral separadamente:
  • integral x^2 dx = x^33
  • integral 1x dx = ln|x|

Passo 6

Então, juntando tudo:
y = x^33 - 2 ln|x| + C
Onde C é a constante de integração, que representa todas as possíveis soluções da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x^33 - 2 ln|x| + C

Exercícios relacionados