Calcule a área da superficie gerada pela rotação do gráfico da função y=e^tildeF+e^-z2 ao redor do eixo x para x in[-1,1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é calcular a área da superfície que surge quando giramos o gráfico da função $ y = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} $ em torno do eixo $ x $, para $ x $ variando de -1 a 1. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente a fórmula para área de superfície de rotação em torno do eixo $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo $ x $. A fórmula é:
x
Aqui:
  • $ y $ é a função que estamos girando.
  • $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada de $ y $ em relação a $ x $.
  • $ a $ e $ b $ são os limites de integração, que no nosso caso são -1 e 1.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $:
y
Derivando termo a termo:
x

Passo 4

Agora, vamos substituir $ y $ e $ \frac{dy}{dx} $ na fórmula da área:
y

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
(e^x - e^-x2)^2 = (e^x - e^-x)^24 = e^2x - 2 + e^-2x4
Então:
raiz1 + e^2x - 2 + e^-2x4 = raiz4 + e^2x - 2 + e^-2x4 = raize^2x + 2 + e^-2x4 = e^x + e^-x2

Passo 6

Substituindo de volta na fórmula da área:
A = 2pi integral-1^1 e^x + e^-x2 cdot e^x + e^-x2 , dx = 2pi integral-1^1 (e^x + e^-x2)^2 , dx

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(e^x + e^-x2)^2 = e^2x + 2 + e^-2x4
Então, a integral fica:
A = 2pi cdot 14 integral-1^1 (e^2x + 2 + e^-2x) , dx = pi2 integral-1^1 (e^2x + 2 + e^-2x) , dx

Passo 8

Agora, vamos calcular cada uma das integrais:
integral e^2x , dx = e^2x2 + C
integral 2 , dx = 2x + C
integral e^-2x , dx = -e^-2x2 + C
Aplicando os limites de -1 a 1:
integral-1^1 (e^2x + 2 + e^-2x) , dx = [ e^2x2 + 2x - e^-2x2 ]-1^1

Passo 9

Vamos avaliar a expressão nos extremos:
Para $ x = 1 $:
x = 1
Para $ x = -1 $:
e^22 + 2(1) - e^-22 = e^2 - e^-22 + 2
Subtraindo:
x = -1

Passo 10

Substituindo de volta na expressão da área:
A = pi2 (e^2 - e^-2 + 4) = pi2 cdot 4 + pi2 (e^2 - e^-2) = 2pi + pi2 (e^2 - e^-2)
Reconhecendo que $ e^{2} - e^{-2} = 2\sinh(2) $:
e^2 - e^-2 = 2sinh(2)
Então, simplificando:
A = 2pi + pi2 cdot 2sinh(2) = 2pi + pisinh(2)

Resposta

A área da superfície gerada é $ A = \pi \left(2 + \sinh(2)\right) $.

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