Calcule a área da superficie gerada pela rotação do gráfico da função
ao redor do eixo
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é calcular a área da superfície que surge quando giramos o gráfico da função $ y = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2} $ em torno do eixo $ x $, para $ x $ variando de -1 a 1. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente a fórmula para área de superfície de rotação em torno do eixo $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área da superfície gerada pela rotação de uma curva em torno do eixo $ x $. A fórmula é:
Aqui:
- $ y $ é a função que estamos girando.
- $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada de $ y $ em relação a $ x $.
- $ a $ e $ b $ são os limites de integração, que no nosso caso são -1 e 1.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $:
Derivando termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ y $ e $ \frac{dy}{dx} $ na fórmula da área:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então:
Passo 6
Substituindo de volta na fórmula da área:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular cada uma das integrais:
Aplicando os limites de -1 a 1:
Passo 9
Vamos avaliar a expressão nos extremos:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = -1 $:
Subtraindo:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão da área:
Reconhecendo que $ e^{2} - e^{-2} = 2\sinh(2) $:
Então, simplificando:
Resposta
A área da superfície gerada é $ A = \pi \left(2 + \sinh(2)\right) $.