A temperatura de um sistema
em um processo industrial varia de acordo com a lei do resfriamento de Newton. A equação diferencial que descreve o comportamento da temperatura é
onde
é a temperatura ambiente e
é uma constante.
Assuma que a temperatura inicial do sistema é
, a temperatura ambiente é
e
. Encontre a expressão de
que resolve esse problema de valor inicial.
Calcule a temperatura do sistema após 30 minutos.
Assuma que a temperatura inicial do sistema é
Calcule a temperatura do sistema após 30 minutos.
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre como a temperatura de um sistema muda ao longo do tempo, seguindo a lei do resfriamento de Newton. Isso está relacionado a um conteúdo de equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender como montar e resolver uma equação diferencial simples que descreve essa variação de temperatura.
Passo 2
A equação que descreve a temperatura do sistema é:
Aqui,
é a temperatura do sistema no tempo
,
é a temperatura ambiente, e
é uma constante positiva que indica a taxa de resfriamento.
Passo 3
Primeiro, vamos resolver essa equação diferencial. Podemos reescrevê-la como:
Essa é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida usando fator integrante. Mas, uma forma mais intuitiva é notar que a solução geral dessa equação é:
Onde
é a temperatura inicial do sistema.
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores fornecidos no problema:
Então, a expressão fica:
Simplificando:
Passo 5
Agora, queremos saber a temperatura após 30 minutos. Basta substituir
na equação:
Calculando o expoente:
Então:
Passo 6
Vamos calcular o valor numérico. Sabemos que
:
Multiplicando:
Então:
Resposta
Após 30 minutos, a temperatura do sistema é aproximadamente
.