A temperatura de um sistema T(t) em um processo industrial varia de acordo com a lei do resfriamento de Newton. A equação diferencial que descreve o comportamento da temperatura é
T^prime(t)=-k cdot(T(t)-Tamb),
onde T amb é a temperatura ambiente e k é uma constante.
Assuma que a temperatura inicial do sistema é T(0)=150^circ C, a temperatura ambiente é Tamb=25^circ C e k=0,1 min^-1. Encontre a expressão de T(t) que resolve esse problema de valor inicial.
Calcule a temperatura do sistema após 30 minutos.

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre como a temperatura de um sistema muda ao longo do tempo, seguindo a lei do resfriamento de Newton. Isso está relacionado a um conteúdo de equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender como montar e resolver uma equação diferencial simples que descreve essa variação de temperatura.

Passo 2

A equação que descreve a temperatura do sistema é:
T^prime(t) = -k cdot (T(t) - Tamb)
Aqui, é a temperatura do sistema no tempo , é a temperatura ambiente, e é uma constante positiva que indica a taxa de resfriamento.

Passo 3

Primeiro, vamos resolver essa equação diferencial. Podemos reescrevê-la como:
dTdt = -k(T - Tamb)
Essa é uma equação diferencial linear que pode ser resolvida usando fator integrante. Mas, uma forma mais intuitiva é notar que a solução geral dessa equação é:
T(t) = Tamb + (T(0) - Tamb) cdot e^-kt
Onde é a temperatura inicial do sistema.

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores fornecidos no problema:
  • T(t) = 25 + (150 - 25) cdot e^-0,1t
  • T(t) = 25 + 125 cdot e^-0,1t
Então, a expressão fica:
Simplificando:

Passo 5

Agora, queremos saber a temperatura após 30 minutos. Basta substituir T(30) = 25 + 125 cdot e^-0,1 cdot 30 na equação:
-0,1 cdot 30 = -3
Calculando o expoente:
T(30) = 25 + 125 cdot e^-3
Então:

Passo 6

Vamos calcular o valor numérico. Sabemos que T(30) = 25 + 125 cdot 0,0498 :
125 cdot 0,0498 approx 6,225
Multiplicando:
T(30) approx 25 + 6,225 = 31,225^circ C
Então:

Resposta

Após 30 minutos, a temperatura do sistema é aproximadamente .

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