Utilize transformada de Laplace para resolver
onde
e
, sujeito às condições dadas por:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de onda
em
, com as condições de contorno
,
e as condições iniciais
,
. Vamos usar transformada de Laplace em
para reduzir o PDE a um ODE em
e depois inverter a transformada.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em
definindo
Pela propriedade
e
obtemos o ODE em
:
As condições de contorno viram
e
.
Passo 3
Como o termo forçante está expandido em modos
, procuramos solução da forma cada modo separadamente. Para um modo
o ODE seria
e a solução respeitando
é
No nosso caso só há
com
e
com
.
Passo 4
Assim a transformada total é a soma dos dois modos:
Passo 5
Para inverter, usamos
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Resposta
u(x,t)=\frac{2}{\pi},\sin(\pi t),\sin(\pi x)+\frac{4}{3\pi},\sin(3\pi t),\sin(3\pi x)