Utilize transformada de Laplace para resolver ux x=ut t onde 0 e t>0, sujeito às condições dadas por:
u(0, t)=0 u(1, t)=0 u(x, 0)=0 ut(x, 0)=2 sen(pi x)+4 sen(3 pi x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de onda uxx=utt em 00, com as condições de contorno u(0,t)=0, u(1,t)=0 e as condições iniciais u(x,0)=0, ut(x,0)=2sin(pi x)+4sin(3pi x). Vamos usar transformada de Laplace em t para reduzir o PDE a um ODE em x e depois inverter a transformada.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em t definindo
U(x,s)=Lu(x,t)= integral0^inftye^-stu(x,t),dt
Pela propriedade
Lutt=s^2U(x,s)-s,u(x,0)-ut(x,0)
e
Luxx=Uxx(x,s),
obtemos o ODE em x:
Uxx(x,s)-s^2U(x,s)=-l[2sin(pi x)+4sin(3pi x)r]
As condições de contorno viram U(0,s)=0 e U(1,s)=0.

Passo 3

Como o termo forçante está expandido em modos sin(npi x), procuramos solução da forma cada modo separadamente. Para um modo bnsin(npi x) o ODE seria
Uxx-s^2U=-bnsin(npi x)
e a solução respeitando U(0,s)=U(1,s)=0 é
Un(x,s)=bns^2+(npi)^2,sin(npi x)
No nosso caso só há n=1 com b1=2 e n=3 com b3=4.

Passo 4

Assim a transformada total é a soma dos dois modos:
U(x,s)=2s^2+pi^2,sin(pi x) +4s^2+9pi^2,sin(3pi x)

Passo 5

Para inverter, usamos
L^-1l1s^2+a^2r=1asin(a t)
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u(x,t)=L^-1U(x,s) =2pisin(pi t)sin(pi x) +43pisin(3pi t)sin(3pi x)

Resposta

u(x,t)=\frac{2}{\pi},\sin(\pi t),\sin(\pi x)+\frac{4}{3\pi},\sin(3\pi t),\sin(3\pi x)

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