Em cada um dos Problemas 1 a 32, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine a solução que a satisfaz.
(x+e^y) d y-d x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial (x+e^y),dy - dx = 0. O conteúdo envolvido é equação diferencial de primeira ordem, do tipo linear em x como função de y. Vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, reorganizamos a equação em forma padrão de uma ODE linear em x(y). Dividindo por dy e isolando dx/dy, obtemos:
dxdy = x + e^y

Passo 3

Em seguida, escrevemos no formato dxdy - x = e^y. Aqui o coeficiente de x é -1 e o termo não homogêneo é e^y.

Passo 4

Calculamos o fator integrante mu(y) = e^-integral 1,dy = e^-y.

Passo 5

Multiplicamos a ODE pelo fator integrante para obter uma equação exata:
$$
e^{-y}\frac{dx}{dy} - e^{-y}x = e{-y}e{y} = 1.$$
O lado esquerdo é a derivada de e^-ydxdy - e^-yx = e^-ye^y = 1.

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a y temos:
ddyl(xe^-yr) = 1
$$
x e^{-y} = y + C,$$onde x e^-y = y + C, é a constante de integração.

Passo 7

Por fim, isolamos x para obter a solução geral explícita:
$$
x = e^{y}(y + C).$$

Resposta

x = e^{y},(y + C)

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