Em cada um dos Problemas 1 a 32, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine a solução que a satisfaz.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
. O conteúdo envolvido é equação diferencial de primeira ordem, do tipo linear em
como função de
. Vamos usar fator integrante para resolver.
Passo 2
Primeiro, reorganizamos a equação em forma padrão de uma ODE linear em
. Dividindo por
e isolando
, obtemos:
Passo 3
Em seguida, escrevemos no formato
. Aqui o coeficiente de
é
e o termo não homogêneo é
.
Passo 4
Calculamos o fator integrante
.
Passo 5
Multiplicamos a ODE pelo fator integrante para obter uma equação exata:
$$
e^{-y}\frac{dx}{dy} - e^{-y}x = e{-y}e{y} = 1.$$
O lado esquerdo é a derivada de .
O lado esquerdo é a derivada de
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
temos:
$$
x e^{-y} = y + C,$$onde
é a constante de integração.
Passo 7
Por fim, isolamos
para obter a solução geral explícita:
$$
x = e^{y}(y + C).$$
Resposta
x = e^{y},(y + C)