Em cada um dos Problemas 1 a 32, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine a solução que a satisfaz.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x y’ = y + x e^{y/x}
Isso envolve reconhecer que a equação é homogênea e usar a substituição v = y/x para separar variáveis e integrar.
Passo 2
Primeiro, dividimos ambos os lados por x para escrever em forma padrão
x \frac{dy}{dx} = y + x e^{y/x}
fica
Reconhecemos que o segundo membro depende apenas de y/x, caracterizando uma equação homogênea.
Passo 3
Definimos a substituição
Derivando em relação a x:
Substituímos essas expressões na equação original.
Passo 4
Ao substituir temos
Cancelando o v de ambos os lados, obtém-se
o que é uma equação que separa variáveis.
Passo 5
Separamos variáveis e integramos:
Integrando:
Passo 6
Voltamos à variável y usando v = y/x. Chamando C_1 = -C, temos a solução implícita
Opcionalmente, podemos resolver para y explicitamente:
Passo 7
Segue a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral está dada implicitamente por
onde C é constante arbitrária.