Em cada um dos Problemas 1 a 32, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine a solução que a satisfaz.
x y^prime=y+x e^y / x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x y’ = y + x e^{y/x}
Isso envolve reconhecer que a equação é homogênea e usar a substituição v = y/x para separar variáveis e integrar.

Passo 2

Primeiro, dividimos ambos os lados por x para escrever em forma padrão
x \frac{dy}{dx} = y + x e^{y/x}
fica
dydx = yx + e^y/x
Reconhecemos que o segundo membro depende apenas de y/x, caracterizando uma equação homogênea.

Passo 3

Definimos a substituição
v = yx, logo y = v x
Derivando em relação a x:
dydx = v + x dvdx
Substituímos essas expressões na equação original.

Passo 4

Ao substituir temos
v + x dvdx = v + e^v
Cancelando o v de ambos os lados, obtém-se
x dvdx = e^v
o que é uma equação que separa variáveis.

Passo 5

Separamos variáveis e integramos:
dvdx = e^vx Longrightarrow e^-v ,dv = dxx
Integrando:
integral e^-v ,dv = integral dxx Longrightarrow - e^-v = ln|x| + C

Passo 6

Voltamos à variável y usando v = y/x. Chamando C_1 = -C, temos a solução implícita
e^-y/x + ln|x| = C1
Opcionalmente, podemos resolver para y explicitamente:
y = -x lnl(C1 - ln|x|r)

Passo 7

Segue a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral está dada implicitamente por
e^-y/x + ln|x| = C,
onde C é constante arbitrária.

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