Em cada um dos Problemas 1 a 32, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine a solução que a satisfaz.
x d y-y d x=2 x^2 y^2 d y , y(1)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x,dy - y,dx = 2x^2y^2,dy,
com a condição inicial y(1) = -2. O conteúdo é EDO de primeira ordem, e vamos transformar em uma equação de Bernoulli em x como função de y.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação em termos de dx/dy. Reescrevendo
x,dy - y,dx = 2x^2y^2,dy Longrightarrow -y,dx = (2x^2y^2 - x),dy
Dividindo por dy e depois por y, obtemos
dxdy = xy - 2xy^cdot x = xy - 2yx^2
Isso é uma equação de Bernoulli em x(y).

Passo 3

Para resolver a Bernoulli, colocamos no formato padrão
dxdy - 1yx = -2y,x^2
Dividimos tudo por x^2 e definimos v = 1x. Note que
x^-2dxdy = -dvdy,
logo a equação vira
-dvdy - 1yv = -2y
Multiplicando por -1)
dvdy + 1yv = 2y,
uma equação linear padrão.

Passo 4

O fator integrante é
mu(y) = e^integral 1ydy = y
Multiplicando a equação por y temos
$$y\frac{dv}{dy} + v = 2y^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dy}(y v) = 2y^2.
ydvdy + v = 2y^2 Longrightarrow ddy(y v) = 2y^2 çãy v = \int 2y^2,dy = \frac{2}{3}y^3 + C.
y\frac{1}{x} = \frac{2}{3}y^2 + \frac{C}{y}.
$$

Passo 5

Usando a condição inicial y(1)=-2, substituímos x=1, y=-2:
1 = 23cdot(-2)^2 + C-2 = 83 - C2
Resolvendo para C C=tfrac103. Então a solução implícita final é
$$\frac{1}{x} = \frac{2}{3}y^2 + \frac{10}{3y}.
$$

Resposta

A solução que satisfaz y(1)=-2 vem dada implicitamente por:
1x = 23,y^2 + 103y

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