Em cada um dos Problemas 1 a 32, resolva a equação diferencial dada. Se uma condição inicial for especificada, determine a solução que a satisfaz.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com a condição inicial
Passo 2
Primeiro escrevemos a equação em termos de
. Reescrevendo
Dividindo por
Isso é uma equação de Bernoulli em
.
Passo 3
Para resolver a Bernoulli, colocamos no formato padrão
Dividimos tudo por
logo a equação vira
Multiplicando por
uma equação linear padrão.
Passo 4
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
$$y\frac{dv}{dy} + v = 2y^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dy}(y v) = 2y^2.
$$
Passo 5
Usando a condição inicial
, substituímos
:
Resolvendo para
dá
. Então a solução implícita final é
$$\frac{1}{x} = \frac{2}{3}y^2 + \frac{10}{3y}.
$$
Resposta
A solução que satisfaz
vem dada implicitamente por: